Математичні головоломки сторінка 2

• На фермі

  На фермі вирощують кроликів і фазанів. Зараз їх стільки, що у всіх разом 740 голів і 1980 ніг. Скільки ж зараз знаходиться на фермі кроликів і фазанів?

  Відповідь

  Нехай x - кількість фазанів, y - кількість зайців. Тоді 2x + 4y = 1980 і x + y = 740, звідси x = 490, y = 250. Тобто, на фермі є 490 фазанів і 250 кроликів.

• Дві сестри

  П'ятнадцять років тому Наталя була в 5 разів старша своєї сестри Тані, а через 20 років Наталя буде в 1,5 рази старша за Таню. Знайдіть вік сестер.

  Відповідь

  Нехай 15 років тому Тані було x років, Наталі y = 5x років. Через (15 + 20) років буде за умовою 5x + 35 = (x + 35) · 1,5. Тобто, x = 5, y = 25. Зараз Тані 20 років, а Наталі 40 років.

• Скільки коштують блокнот і обгортка?

  Блокнот з обгорткою коштує 11 грн. Сам блокнот на 10 грн. дорожчий за обгортку. Скільки коштують блокнот і обгортка окремо?

  

  Відповідь

  Обгортка — 50 коп., блокнот — 10 грн. 50 коп.

• Скільки часу знадобиться, щоб наповнити ванну?

  Ванна заповнюється холодною водою за 6 хвилин 40 секунд, гарячою — за 8 хвилин. Крім того, якщо з повної ванни вийняти пробку, то вода витече за 13 хвилин 20 секунд. Скільки часу знадобиться, щоб наповнити ванну повністю, за умови, що відкриті обидва крана, але ванна не заткнута пробкою?

  

  Відповідь

  За 5 хвилин.

• Чи може на всіх деревах рости 225 яблук?

  Вздовж паркану росте 8 яблунь, кількість яблук на сусідніх деревах відрізняється на 1 одиницю. Чи може на всіх деревах рости 225 яблук?

  

  Відповідь

  За умовою задачі кількість яблук на сусідніх деревах відрізняється на 1, а отже кількість яблук на котромусь із дерев є парна, а на іншому — непарна. Тому на двох сусідніх яблунях в сумі є непарна кількість яблук (сума парного і непарного числа — непарне число). Звідси кількість яблук на восьми деревах — це сума чотирьох непарних чисел, тобто парне числом. На восьми яблунях із задачі не може рости 225 яблук, бо це число є непарне.

• Чи 49^100 – 14^50 кратне 5?

  Довести, що число 49¹⁰⁰ – 14⁵⁰ кратне 5.

  Відповідь

  Число 49¹⁰⁰ закінчується цифрою 1, так як число 100 — це парне число, а 49 в парному степені закінчується 1. А число 14⁵⁰ закінчується цифрою 6, бо 50 — парне число, а 14 в парному степені закінчується 6. Тому різниця 49¹⁰⁰ - 14⁵⁰ закінчується цифрою 5, а значить, ця різниця кратна 5.

• Домашні вихованці

  На майданчику для вигулу тварин гуляли господарі з собаками і кішками. Собак було більше, ніж людей. У собак і людей разом було 100 голів і ніг. До того ж собак і людей разом було в 3 рази більше, ніж кішок. Скільки кішок було на майданчику?

  

  Відповідь

  8 кішок (14 собак і 10 людей).

• Скільки вони важать разом?

  

  Відповідь

  27 кг. Можна систему рівнянь використати, а можна порахувати суму всіх трьох мас (10 + 20 + 24) і поділити цю суму на два (54 / 2 = 27). Тут якраз той випадок, коли алгебра надмірна.

• Скільки ми отримаємо?

  Якщо поділити 50 на половину і додати 50, то скільки ми отримаємо?

  

  Відповідь

  150. Міркуємо так: 50 ÷ 1/2 + 50 = 50 × 2 + 50 = 150.

• Дідусь і внучка

  Скільки дідусеві років, стільки місяців внучці. Дідусеві з онукою разом 91 рік. Скільки років дідусеві і скільки внучці?

  Відповідь

  Нехай внучці x місяців, а дідусеві x років, тоді x/12 + x = 91; 13x = 91 × 12; x = 84. Дідусеві 84 роки, внучці 7 років (84 місяці — це 84/12 = 7 років).