Тригонометричні перетворення
Тригонометричні формули (або тригонометричні тотожності) — математичні вирази для тригонометричних функцій, які виконуються при всіх значеннях аргумента.
Тригонометричні формули широко використовуються як в математиці, так і в фізиці. В математиці — при розв'язуванні трикутників, інтегруванні, в теорії функцій комплексних змінних і т.д. В фізиці — при розв'язуванні задач, в яких векторні величини не лежать на одній прямій.
Співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу
Тут і далі запис \(k\in \mathbb{Z}\) означає, що \(k\) — будь-яке ціле число.
\[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\]
\[\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, ~\alpha \ne \frac{\pi (2k+1)}{2}, k\in \mathbb{Z}\]
\[\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}, ~\alpha \ne \pi k, k\in \mathbb{Z}\]
\[\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1, ~\alpha \ne \frac{\pi k}{2}, k\in \mathbb{Z}\]
\[1 + \operatorname{tg}^{2} \alpha = \frac{1}{\cos^{2} \alpha}, ~\alpha \ne \frac{\pi (2k+1)}{2}\]
\[1 + \operatorname{ctg}^{2} \alpha = \frac{1}{\sin^{2} \alpha}, ~\alpha \ne \pi k\]
Формули додавання
\[\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta\]
\[\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sin \beta\]
\[\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta - sin \alpha \cdot \sin \beta\]
\[\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta + sin \alpha \cdot \sin \beta\]
\[\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta} {1 - \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta}\]
\[\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta}, ~\alpha, ~\beta, ~\alpha - \beta \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k\in \mathbb{Z}\]
Формули подвійного аргументу
\[\sin 2\alpha = 2\sin\alpha \cdot \cos \alpha\]
\[\cos 2\alpha = \cos^{2} \alpha - sin^{2} \alpha = 2\cos^{2} \alpha - 1 = 1 - 2\sin^{2} \alpha\]
\[\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg} \alpha}{1-\operatorname{tg}^{2} \alpha }\]
Формули половинного аргументу
\[\sin^{2} \frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos \alpha}{2}\]
\[\cos^{2} \frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos \alpha}{2}\]
\[\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} = \frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}, ~\alpha \ne \pi + 2 \pi k, k\in \mathbb{Z}\]
Формули перетворення суми в добуток
\[\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\Big(\frac{\alpha + \beta}{2}\Big) \cdot \cos\Big(\frac{\alpha - \beta}{2}\Big)\]
\[\sin \alpha - \sin \beta = 2\cos\Big(\frac{\alpha + \beta}{2}\Big) \cdot \sin\Big(\frac{\alpha - \beta}{2}\Big)\]
\[\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\Big(\frac{\alpha + \beta}{2}\Big) \cdot \cos\Big(\frac{\alpha - \beta}{2}\Big)\]
\[\cos \alpha - \cos \beta = - 2\sin\Big(\frac{\alpha + \beta}{2}\Big) \cdot \sin\Big(\frac{\alpha - \beta}{2}\Big)\]
\[\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin( \alpha + \beta )}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}\]
\[\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}, ~\alpha, \beta \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k\in \mathbb{Z}\]
Формули перетворення добутку в суму
\[\sin \alpha \cdot \sin \beta = \frac{\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta )}{2}\]
\[\cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta )}{2}\]
\[\sin \alpha \cdot \cos \beta = \frac{\sin(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta )}{2}\]
Співвідношення між \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\) і \(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\)
\[\sin \alpha = \frac{ 2\operatorname{tg}\large\frac{\alpha}{2} }{ 1+\operatorname{tg}^{2}\large\frac{\alpha}{2} }, ~\alpha \ne (2k+1) \pi\]
\[\cos \alpha = \frac{ 1-\operatorname{tg}^{2}\large\frac{\alpha}{2} }{ 1+\operatorname{tg}^{2}\large\frac{\alpha}{2} }, ~\alpha \ne (2k+1) \pi\]
Додаткові формули
\[\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^{3}\alpha\]
\[\cos 3\alpha = 4\cos^{3}\alpha - 3\cos \alpha\]
Формули зведення
| \(x\) | \(\frac{\pi}{2} + \alpha\) | \(\pi + \alpha\) | \(\frac{3\pi}{2} + \alpha\) | \(-\alpha\) | \(\frac{\pi}{2} - \alpha\) | \(\pi - \alpha\) | \(\frac{3\pi}{2} - \alpha\) |
| \(\sin x\) | \(\cos \alpha\) | \(-\sin \alpha\) | \(-\cos \alpha\) | \(-\sin \alpha\) | \(\cos \alpha\) | \(\sin \alpha\) | \(-\cos \alpha\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin \alpha\) | \(-\cos \alpha\) | \(\sin \alpha\) | \(\cos \alpha\) | \(\sin \alpha\) | \(-\cos \alpha\) | \(-\sin \alpha\) |
| \(\operatorname{tg}x\) | \(-\operatorname{ctg} \alpha\) | \(\operatorname{tg} \alpha\) | \(-\operatorname{ctg} \alpha\) | \(-\operatorname{tg} \alpha\) | \(\operatorname{ctg} \alpha\) | \(-\operatorname{tg} \alpha\) | \(\operatorname{ctg} \alpha\) |
| \(\operatorname{ctg}x\) | \(-\operatorname{tg} \alpha\) | \(\operatorname{ctg} \alpha\) | \(-\operatorname{tg} \alpha\) | \(-\operatorname{ctg} \alpha\) | \(\operatorname{tg} \alpha\) | \(-\operatorname{ctg} \alpha\) | \(\operatorname{tg} \alpha\) |
Значення тригонометричних функцій деяких кутів
| \(\alpha\) | \(0 (0^{\circ})\) | \(\frac{\pi}{6} (30^{\circ})\) | \(\frac{\pi}{4} (45^{\circ})\) | \(\frac{\pi}{3} (60^{\circ})\) | \(\frac{\pi}{2} (90^{\circ})\) |
| \(\sin \alpha\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) |
| \(\cos \alpha\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) |
| \(\operatorname{tg} \alpha\) | \(0\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | Не існує |
| \(\operatorname{ctg} \alpha\) | Не існує | \(\sqrt{3}\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(0\) |
| \(\alpha\) | \(\pi (180^{\circ})\) | \(\frac{3\pi}{2} (270^{\circ})\) | \(2 \pi (360^{\circ})\) |
| \(\sin \alpha\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) |
| \(\cos \alpha\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
| \(\operatorname{tg} \alpha\) | \(0\) | Не існує | \(0\) |
| \(\operatorname{ctg} \alpha\) | Не існує | \(0\) | Не існує |