Геометрія

Означення

Геометрія (грецьке слово, яке означає землемірство; geo — Земля, metreo — міряю) — розділ математики, що вивчає просторові відношення (наприклад, взаємне розташування) і форми (наприклад, геометричні тіла) та їх узагальнення.

Історія

З просторовими формами людина зустрічалася насамперед при вимірюванні ділянок землі. Традиційно вважається, що родоначальниками геометрії є стародавні греки, які перейняли у єгиптян ремесло землемірства і вимірювання об'ємів тіл, а згодом перетворили її на науку.

Геометрія греків, звана сьогодні евклідовою, або елементарною, займалася вивченням простих форм: прямих, площин, відрізків, правильних багатокутників і многогранників, конічних перетинів, а також куль, циліндрів, призм, пірамід і конусів. Обчислювалися їх площі і об'єми. Перетворення в основному обмежувалися подібністю.

В стародавній Греції, починаючи з 7 ст. до н.е. з часів Фалеса Мілетського починається новий етап розвитку геометрії. Вона набуває характерного для неї абстрактного напряму. Виникає доведення.

Саме стародавня Греція дала світу строгу побудову геометрії як системи пропозицій (теорем), основні поняття, що послідовно виводяться з нечисленних визначень, та істин, приймаються без доказу (аксіом). Такий виклад геометрії в «Початках» Евкліда (близько 300 до н. е.) в перебіг майже 2 тисяч років служив зразком застосування аксіоматичного методу і основної побудови евклідової геометрії.

Якби спитати будь-якого з істориків математики, кого з старогрецьких математиків він вважає найвидатнішим, причому дозволяється називати не більше трьох імен, то, мабуть, у більшості випадків відповідь була б така: Евклід, Архімед, Аполлоній. Це справді три кити стародавньої математики, і ніяка, навіть найкоротша, довідка про стародавній світ і його науку неможлива без згадування цих трьох імен. Евклід — є фокусом, в якому сконцентрувалася уся сучасна математика. Архімед — геніальний механік і геометр, творець нескінченно малих величин (числення). Апполоній — творець теорії конічних перерізів.

Середні віка небагато дали геометрії, і наступною великою подією в її історії стало відкриття Декартом в XVII столітті координатного методу («Міркування про метод», 1637 р.). Рене Декарт запропонував метод координат, який дозволив пов'язати геометрію з алгеброю і математичним аналізом, що породило аналітичну геометрію і диференціальну геометрію. Точкам зіставляються набори чисел, це дозволяє вивчати відносини між формами методами алгебри. Так з'явилася аналітична геометрія, що вивчає фігури і перетворення, які в координатах задаються рівняннями алгебри.

Приблизно одночасно з цим Паскалем і Дезаргом почато дослідження властивостей плоских фігур, не змінних при проектуванні з однієї площини на іншу. Цей розділ отримав назву проектної геометрії. Метод координат лежить в основі диференціальної геометрії, де фігури і перетворення все ще задаються в координатах, але вже довільними достатньо гладкими функціями.

У 1826 році Н. І. Лобачевський побудував геометрію Лобачевського. Лобачевського геометрія — це геометрична теорія, заснована на тих же основних постулатах, що і звичайна евклідова геометрія, за винятком аксіоми про паралельність. Евклідова аксіома говорить: на площині через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести одну і тільки одну пряму, паралельну даній. У геометрії Лобачевського ця аксіома замінена наступною: на площині через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести більше однієї прямої, яка не перетинатиме дану пряму. Не дивлячись на зовнішню парадоксальність, геометрія Лобачевського виявилася логічно абсолютно рівноправною з евклідовою. Відкриття неевклідової геометрії Лобачевського внесло корінні зміни до уявлень про природу простору.

В середині 19 ст. були розглянуті багатовимірні простори. Деякий загальний принцип побудови різних узагальнених понять простору (і відповідної ним геометрії) на основі теорії груп перетворень був даний Ф. Клейном (1872).

Обширна область геометрії — ріманова геометрія — була закладена в другій половині 19 століття в роботах Б. Рімана.

Узагальнення основного предмету геометрії — простори — привело до плідного застосування геометрії в різних областях не тільки математики, але й інших наук (фізики, механіки).

Джерела

• Статья А. Д. Александрова "Геометрия" из БСЭ.
• Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
• Інформаційно-практичний бюлетень "Все для вчителя" (Січень 1’2007).