Логарифм

Логарифмом числа \(b\) за основою \(a\) називається показник степеня \(x\), до якого слід піднести основу \(a\), щоб одержати число \(b\), де \(a>0, a \neq 1, b>0\):

\[\log_{a}b = x\]

Якщо основа дорівнює 10, то такий логарифм називається десятковим і позначається

\[\lg b = x\]

без вказання основи.

Якщо основа логарифма дорівнює числу \(e\), то логарифм називається натуральним і записується

\[\ln b = x\]

Основна логарифмічна тотожність

\[b = a^{\log_{a}b}, b>0.\]

Властивості логарифму:

1) \[\log_{a}a = 1\]
2) \[\log_{a}1 = 0\]
3) \[\log_{a}{(b \cdot c)} = \log_{a}b + \log_{a}c\]
4) \[\log_{a}{\Big(\frac{b} {c}\Big)} = \log_{a}b - \log_{a}c\]
5) \[\log_{a}{x^p} = p \cdot \log_{a}x\]
6) \[\log_{a}x = \frac{ \log_{b}x }{ \log_{b}a }\]
(формула переходу до нової основи)
7) \[\log_{a}b = \frac{ 1 }{ \log_{b}a }\]
8) \[\log_{a}b = \log_{ a^p}{b^p} = p \cdot \log_{ a^p}b\]
9) \[a^{ \log_{a}b} = b\]
10) \[\log_{c}a \cdot \log_{a}b = \log_{c}b\]
11) \[\log_{a^\alpha} {b^\beta} = \frac{\beta}{\alpha} \cdot \log_{a}b\]
12) \[a^{ \log_{c}b} = b^{ \log_{c}a}\]
13) \[\log_{a^{\alpha}} b = \frac { \log_{ a}b }{ \log_{ a}a^{ \alpha} } = \frac{1}{\alpha} \cdot \log_{a}b\]
14) \[\log_{c}{a^{\log_{c}b}} = \log_{c}{b^{\log_{c}a}}\]
15) \[\log_{c}b \cdot \log_{c}a = \log_{c}a \cdot \log_{c}b\]

Обчислення логарифма

\[y = \log_{a}x, ~ де ~ a>0, a \neq 1, x>0\]
\(a\) \(=\)
\(x\) \(=\)
\(y\) \(=\)

Перетворення, при якому логарифм виразу зі змінними зводиться до суми або різниці логарифмів, називається логарифмуванням. Обернене до логарифмування перетворення називається потенціюванням.