Системи рівнянь

Система двох рівнянь першого степеня з двома невідомими

Способи розв'язання

1. Спосіб підстановки полягає в тому, що:

1) із одного рівняння ми знаходимо вираз одного з невідомих, наприклад \(x\), через відомі величини і інше невідоме \(y\);

2) знайдений вираз підставляємо в інше рівняння, в якому після цієї підстановки буде міститися тільки одна невідома \(y\);

3) розв'язуємо отримане рівняння і знаходимо значення \(y\);

4) підставляючи знайдене значення \(y\) у вираз невідомого \(x\), знайдений на початку розв'язку, отримуємо значення \(x\).

2. Спосіб додавання або віднімання полягає в тому, що:

1) обидві частини одного рівняння множаться на деякий множник; обидві частини іншого рівняння множаться на інший множник; ці множники підбираються так, щоб коефіцієнти при одному із невідомих в обидвох рівняннях після їх множення на ці множники мали одну і ту ж абсолютну величину;

2) додаємо два рівняння або віднімаємо їх один від одного, дивлячись на те, має рівняння коефіцієнти різні або однакові знаки; цим одне із невідомих виключається;

3) розв'язуємо отримане рівняння з одним невідомим;

4) інше невідоме можна знайти тим же чином, але легше підставити значення першого невідомого в будь-яке із даних рівняннь і розв'язати рівняння з одним невідомим.

Загальні формули і особливі випадки розв'язування системи

Розв'язати систему рівнянь виду

\[\begin{cases}ax + by = c \\ a_{1}x + b_{1}y = c_{1}\end{cases}\]

можна швидше, якщо застосовувати загальні формули. Останні можна отримати будь-яким способом, наприклад, способом додавання і віднімання. Розв'язок буде мати вигляд

\[x = \frac{b_{1}c-bc_{1}}{ab_{1}-a_{1}b}\]
\[y = \frac{ac_{1}-a_{1}c}{ab_{1}-a_{1}b}\]

При розв'язуванні системи рівнянь можуть виникнути три різних випадки.

  1. Коефіцієнти при невідомих непропорційні:

    \[\frac{a}{a_1} \ne \frac{b}{b_1}\]

    Тоді, якими б не були вільні члени, рівняння має єдиний розв'язок, який наведений вище.

  2. Коефіцієнти при невідомих пропорційні:

    \[\frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1}\]

    Тоді важливо знати, чи знаходяться в тому ж відношенні і вільні члени. Якщо знаходяться:

    \[\frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1}\]

    то система рівнянь має безліч розв'язків. Причина цього та, що в розглянутому випадку одне із рівнянь є наслідком іншого, так що фактично в нас одне рівняння, а не два.

  3. Коефіцієнти при невідомих пропорційні, але вільні члени не знаходяться в тому ж відношенні:

    \[\frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} \ne \frac{c}{c_1}\]

    Тоді система не має розв'язку, тому що рівняння один одному протирічять.

Розв'язування системи 2-х рівнянь 1-го степеня з 2-а невідомими

\(x+\) \(y =\)
\(x+\) \(y =\)

Система трьох рівнянь першого степеня з трьома невідомими

Розв'язання системи трьох рівнянь з трьома невідомими основується на тих же прийомах, що і розв'язування системи двох рівнянь з двома невідомими.

Розв'язування системи 3-х рівнянь 1-го степеня з 3-а невідомими

\(x+\) \(y +\) \(z =\)
\(x+\) \(y +\) \(z =\)
\(x+\) \(y +\) \(z =\)