Системи рівнянь
Система двох рівнянь першого степеня з двома невідомими
Способи розв'язання
1. Спосіб підстановки полягає в тому, що:
1) із одного рівняння ми знаходимо вираз одного з невідомих, наприклад \(x\), через відомі величини і інше невідоме \(y\);
2) знайдений вираз підставляємо в інше рівняння, в якому після цієї підстановки буде міститися тільки одна невідома \(y\);
3) розв'язуємо отримане рівняння і знаходимо значення \(y\);
4) підставляючи знайдене значення \(y\) у вираз невідомого \(x\), знайдений на початку розв'язку, отримуємо значення \(x\).
2. Спосіб додавання або віднімання полягає в тому, що:
1) обидві частини одного рівняння множаться на деякий множник; обидві частини іншого рівняння множаться на інший множник; ці множники підбираються так, щоб коефіцієнти при одному із невідомих в обидвох рівняннях після їх множення на ці множники мали одну і ту ж абсолютну величину;
2) додаємо два рівняння або віднімаємо їх один від одного, дивлячись на те, має рівняння коефіцієнти різні або однакові знаки; цим одне із невідомих виключається;
3) розв'язуємо отримане рівняння з одним невідомим;
4) інше невідоме можна знайти тим же чином, але легше підставити значення першого невідомого в будь-яке із даних рівняннь і розв'язати рівняння з одним невідомим.
Загальні формули і особливі випадки розв'язування системи
Розв'язати систему рівнянь виду
можна швидше, якщо застосовувати загальні формули. Останні можна отримати будь-яким способом, наприклад, способом додавання і віднімання. Розв'язок буде мати вигляд
При розв'язуванні системи рівнянь можуть виникнути три різних випадки.
-
Коефіцієнти при невідомих непропорційні:
\[\frac{a}{a_1} \ne \frac{b}{b_1}\]Тоді, якими б не були вільні члени, рівняння має єдиний розв'язок, який наведений вище.
-
Коефіцієнти при невідомих пропорційні:
\[\frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1}\]Тоді важливо знати, чи знаходяться в тому ж відношенні і вільні члени. Якщо знаходяться:
\[\frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1}\]то система рівнянь має безліч розв'язків. Причина цього та, що в розглянутому випадку одне із рівнянь є наслідком іншого, так що фактично в нас одне рівняння, а не два.
-
Коефіцієнти при невідомих пропорційні, але вільні члени не знаходяться в тому ж відношенні:
\[\frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} \ne \frac{c}{c_1}\]Тоді система не має розв'язку, тому що рівняння один одному протирічять.
Розв'язування системи 2-х рівнянь 1-го степеня з 2-а невідомими
Система трьох рівнянь першого степеня з трьома невідомими
Розв'язання системи трьох рівнянь з трьома невідомими основується на тих же прийомах, що і розв'язування системи двох рівнянь з двома невідомими.