Границя функції
Поняття границі функції
Нехай функція \(f(x)\) визначена у всіх точках проміжку \((a; b)\), за винятком, можливо, деякої точки \(x_0 \in (a; b)\). Побудуємо послідовність значень аргументу функції \(f(x)\):
таку, щоб всі члени послідовності належали проміжку \((a; b)\) і послідовність збігалась до точки \(x_0\):
Тоді значення функції \(f(x)\)
також утворять деяку числову послідовність.
Говорять, що число \(A\) є границею функції \(f(x)\) при \(x\), що прямує до \(x_0\), якщо для будь-якої послідовності значень аргументу (1), яка збігається до числа \(x_0\), послідовність значень функції (2) збігається до числа \(A\), і пишуть
Існує й інше, еквівалентне тому, що вище, визначення границі функції.
Говорять, що число \(A\) є границею функції \(f(x)\) при \(x\), що прямує до \(x_0\), якщо для будь-якого додатнього числа \(\varepsilon\) знайдеться таке додатне число \(\delta\), яке залежить від \(\varepsilon\), що при всіх \(x \in (a; b)\), які задовільняють нерівність
виконується нерівність
Узагальнення на випадок нескінченості
Сформовані вище означення границі функції по Гейне і по Коші можуть бути узагальнені і на випадок, коли замість числа \(x_0\) береться \(+\infty\) (або \(-\infty\)).
Говорять, що число \(A\) є границею функції \(f(x)\) при \(x\), що прямує до \(+\infty\), якщо для будь-якого додатнього числа \(\varepsilon\) знайдеться таке додатне число \(\Delta\), що для всіх \(x\), які задовільняють нерівність \(x > \Delta\), виконується нерівність
в цьому випадку пишуть
Говорять, що функція \(f(x)\) прямує до \(+\infty\) при прямуванні \(x\) до \(x_0\), якщо для будь-якого скільки завгодно великого додатнього числа \(E\) знайдеться таке додатне число \(\delta > 0\), що для всіх \(x\), які задовільняють нерівність
і таких, що належать області визначення функції, виконується нерівність
в цьому випадку пишуть
Односторонні границі. Ліва та права границя функції
Нехай функція \(f(x)\) визначена на проміжку \((a; x_0)\). Число \(A\) називають лівою границею функції \(f(x)\) в точці \(x_0\) і пишуть
якщо для будь-якого числа \(\varepsilon > 0\) знайдеться додатнє число \(\delta\), яке залежить від \(\varepsilon\), таке, що для всіх \(x \in (a; x_0)\), які задовільняють нерівність \(x_0 - x < \delta\), виконується нерівність
Аналогічно визначається права границя функції \(f(x)\). Для позначення правої границі функції \(f(x)\) в точці \(x_0\) використовується позначення
Ліва і права границі функції називаються односторонніми границями.
Якщо функція \(f(x)\) визначена на проміжку \((a; b)\), за винятком, можливо, точки \(x_0 \in (a; b)\), то для існування границі
необхідно і достатньо, щоб права і ліва границі функції \(f(x)\) в точці \(x_0\) існували і були рівні:
Теореми про границі функцій. Властивості границь
1) Якщо функції \(f(x)\) і \(g(x)\) мають границі при \(x\), який прямує до \(a\), то функції \(f(x) \pm g(x)\), \(f(x) \times g(x)\), \(\large \frac{f(x)} {g(x)}\) також мають границі при \(x\), який прямує до \(a\) і
В останньому випадку припускається, що функція \(g(x)\) не перетворюється в нуль в досить малому околі точки \(a\) і
2) Якщо при \(x\), що прямує до \(a\), функція \(f(x)\) має границю, рівну \(A\), і ця границя більше числа \(c\), то для достятньо близьких до \(a\) значень \(x\) функція \(f(x)\) задовільняє нерівність \(f(x)>c\).
Деякі важливі границі
В теорії границь важливе місце займають перераховані нижче границі (з їх допомогою обчислюється багато границь від елементарних функцій):
Джерело
- А. Г. Цыпкин. Справочник по математике для средних учебных заведений. Москва «Наука», 1983.