Прогресії
1. Арифметична прогресія
\[a_1, a_2, a_3, ..., a_n, ~де~ n ~-~ ціле.\]
Нехай \(a_1\) — перший член прогресії, \(d\) — різниця прогресії, \(n\) — число членів, \(a_n\) — \(n\)-ий член, \(S_n\) — сума \(n\) перших членів.
Тоді \(n\)-й член арифметичної прогресії:
\[a_n = a_1 + d(n-1).\]
\(n\)-й член арифметичної прогресії
\[a_n = a_1 + d(n-1)\]
Різниця арифметичної прогресії:
\[d = a_{n+1} - a_n.\]
Сума перших \(n\) членів:
\[S_n = \frac{1}{2} \Big(2 a_1 + d(n-1)\Big) n.\]
Сума перших \(n\) членів арифметичної прогресії
\[S_n = \frac{1}{2} \Big(2 a_1 + d(n-1)\Big) n\]
2. Геометрична прогресія
\[b_1, b_2, b_3, ..., b_n, ~де~ n ~-~ ціле.\]
Нехай \(b_1\) — перший член, \(q\) — знаменник, відмінний від нуля, \(n\) — число членів, \(b_n\) — \(n\)-й член, \(S_n\) — сума \(n\) перших членів, \(S\) — сума нескінченної геометричної прогресії.
Тоді \(n\)-й член геометричної прогресії:
\[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}.\]
\(n\)-й член геометричної прогресії
\[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]
Знаменник геометричної прогресії:
\[q = \frac{b_n}{b_{n-1}}.\]
Сума перших \(n\) членів:
\[S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}, ~q \ne 1.\]
Сума перших \(n\) членів геометричної прогресії
\[S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}, ~q \ne 1\]
Мають місце наступні рівності:
\[b_{k}^2 = b_{k-1} \cdot b_{k+1}, ~де~\]
\[k = 2, 3, n-1.\]
\[b_k \cdot b_m = b_p \cdot b_q, ~де~\]
\[k+m = p+q.\]
Сума нескінченної геометричної прогресії:
\[S = \frac{b_1}{1-q}, ~де~ |q| < 1.\]
Сума нескінченної геометричної прогресії
\[S = \frac{b_1}{1-q}, ~де~ |q| < 1\]