Прогресії

1. Арифметична прогресія

\[a_1, a_2, a_3, ..., a_n, ~де~ n ~-~ ціле.\]

Нехай \(a_1\) — перший член прогресії, \(d\) — різниця прогресії, \(n\) — число членів, \(a_n\) — \(n\)-ий член, \(S_n\) — сума \(n\) перших членів.

Тоді \(n\)-й член арифметичної прогресії:

\[a_n = a_1 + d(n-1).\]

\(n\)-й член арифметичної прогресії

\[a_n = a_1 + d(n-1)\]
\(n\) \(=\)
\(d\) \(=\)
\(a_1\) \(=\)
\(a_n\) \(=\)

Різниця арифметичної прогресії:

\[d = a_{n+1} - a_n.\]

Сума перших \(n\) членів:

\[S_n = \frac{1}{2} \Big(2 a_1 + d(n-1)\Big) n.\]

Сума перших \(n\) членів арифметичної прогресії

\[S_n = \frac{1}{2} \Big(2 a_1 + d(n-1)\Big) n\]
\(n\) \(=\)
\(d\) \(=\)
\(a_1\) \(=\)
\(S_n\) \(=\)

2. Геометрична прогресія

\[b_1, b_2, b_3, ..., b_n, ~де~ n ~-~ ціле.\]

Нехай \(b_1\) — перший член, \(q\) — знаменник, відмінний від нуля, \(n\) — число членів, \(b_n\) — \(n\)-й член, \(S_n\) — сума \(n\) перших членів, \(S\) — сума нескінченної геометричної прогресії.

Тоді \(n\)-й член геометричної прогресії:

\[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}.\]

\(n\)-й член геометричної прогресії

\[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]
\(q\) \(=\)
\(n\) \(=\)
\(b_1\) \(=\)
\(b_n\) \(=\)

Знаменник геометричної прогресії:

\[q = \frac{b_n}{b_{n-1}}.\]

Сума перших \(n\) членів:

\[S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}, ~q \ne 1.\]

Сума перших \(n\) членів геометричної прогресії

\[S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}, ~q \ne 1\]
\(q\) \(=\)
\(n\) \(=\)
\(b_1\) \(=\)
\(S_n\) \(=\)

Мають місце наступні рівності:

\[b_{k}^2 = b_{k-1} \cdot b_{k+1}, ~де~\]
\[k = 2, 3, n-1.\]
\[b_k \cdot b_m = b_p \cdot b_q, ~де~\]
\[k+m = p+q.\]

Сума нескінченної геометричної прогресії:

\[S = \frac{b_1}{1-q}, ~де~ |q| < 1.\]

Сума нескінченної геометричної прогресії

\[S = \frac{b_1}{1-q}, ~де~ |q| < 1\]
\(q\) \(=\)
\(b_1\) \(=\)
\(S\) \(=\)