Дроби
Якщо частка від ділення одного виразу на інший не є цілим виразом, її записують у вигляді дробу.
Дробом називають частку від ділення двох виразів, записану за допомогою дробової риски.
Які б не були вирази \(A\) і \(B\), їх частка \(\large \frac{A}{B}\) — дріб. Вирази \(A\) і \(B\) — члени цього дробу, \(A\) — чисельник, \(B\) — знаменник.
Звичайний дріб — дріб, члени якого — натуральні числа.
Основна властивість дробу
Якщо чисельник і знаменник дробу помножити на один і той самий вираз, то дістанемо дріб, який тотожно дорівнює даному. Іншими словами: при будь-яких натуральних \(a\), \(b\) і \(m\)
Скоротити дріб
Виділити цілу частину
Додавання і віднімання дробів
Щоб додати дроби з однаковими знаменниками, треба додати їх чисельники, а знаменник залишити той самий.
Для натуральних чисел \(a, ~ b, ~ c\) справджується рівність
Справджується вона і для довільних раціональних значень \(a, ~ b, ~ c\), крім \(c \ne 0\).
Щоб знайти різницю дробів з однаковими знаменниками, треба від чисельника зменшуваного відняти чисельник від’ємника, а знаменник залишити той самий. Тобто, справедлива така тотожність:
Якщо треба знайти суму або різницю дробів з різними знаменниками, то спочатку їх зводять до спільного знаменника, подібно до того, як це роблять при додаванні і відніманні звичайних дробів.
Алгоритм додавання та віднімання дробів з різними знаменниками
- Знайти спільний знаменник дробів.
- Звести дроби до спільного знаменника.
- Додати або відняти одержані дроби.
- Спростити дріб, якщо це можливо.
Додавання і віднімання дробів
Множення дробів
Щоб помножити дріб на дріб, треба перемножити окремо їх чисельники і окремо знаменники і перший добуток записати чисельником, а другий — знаменником дробу. Тобто, для будь-яких натуральних чисел \(a, ~ b, ~ c\) і \(d\) справджується рівність
Правило піднесення дробу до степеня
Щоб піднести дріб до степеня, треба піднести до цього степеня чисельник та знаменник і перший результат записати у чисельнику, а другий — у знаменнику дробу:
Ділення дробів
Дріб \(\large\frac{d}{c}\) називають оберненим до \(\large\frac{c}{d}\).
Щоб поділити один дріб на другий, треба перший дріб помножити на дріб, обернений до другого. Тобто,