Кути

Основні означення

Плоский кут — фігура, утворена двома променями або відрізками, що виходять з однієї точки. Промені або відрізки, що утворюють кут, називаються сторонами кута, а точка, з якої вони виходять, вершиною кута. Кут позначається спеціальним значком і буквою, поставленою біля його вершини або всередині кута, а також трьома буквами, з яких середньою є та, що стоїть біля вершини кута. Наприклад, ∠A, ∠α, ∠POQ і т. д.

Площина поділяється сторонами кута на внутрішню область кута і зовнішню.

Два кути називаються рівними, якщо при накладанні вони збігаються.

Якщо сторони кутів утворені відрізками, то при рівності кутів рівність сторін може не зберігатися.

Розгорнутим кутом називається кут, одна сторона якого є продовженням іншої.

Два кути, що мають спільну вершину і спільну сторону, називаються прилеглими, якщо їх внутрішні області не покривають одна одну.

Суміжними кутами називаються два прилеглих кути, у яких сторони, які не збігаються, утворюють пряму лінію.

Щоб побудувати кут, суміжний даному, треба одну з сторін даного кута продовжити за його вершину.

Якщо два суміжних кути рівні між собою, то кожний з них називається прямим кутом.

Приклад 1. Довести, що коли кут, що дорівнює піврізниці суміжних кутів, відняти від прямого кута, то дістанемо менший з суміжних кутів.

Доведення.  Позначимо менший з суміжних кутів через α. Другий суміжний кут при цьому дорівнює 180° — α. Піврізниця суміжних кутів дорівнює:

1/2  [ (180° — α) — α ] = 90° — α.

Віднімаючи цю піврізницю від прямого кута, дістанемо в результаті кут α, що і треба було довести.

Вертикальні кути — такі два кути, у яких сторони одного є продовженням сторін другого. Вертикальні кути утворюються при перетині двох прямих ліній.

Перпендикулярні прямі — такі дві прямі лінії, які при перетині утворюють прямі вертикальні або прямі суміжні кути.

Дії з кутами

Якщо вершину і сторону одного кута сумістити з вершиною і стороною другого кута, а інші сторони цих кутів розмістити, по одну сторону від суміщеної, то:

1. перший кут менший від другого, якщо несуміщена сторона його знаходиться всередині (у внутрішній області) другого кута;
2. перший кут більший від другого, якщо несуміщена сторона його знаходиться у зовнішній області другого кута.

Якщо вершину і сторону одного кута сумістити з вершиною і стороною другого кута так, щоб їх внутрішні області не накладалися, то утворений несуміщеними сторонами кут називається сумою даних кутів (рис. 1). Сума декількох кутів визначається аналогічно.

Рис. 1. Сума кутів.

Сума кутів має переставну і сполучну властивості.

Різниця кутів, множення і ділення кута на число визначається аналогічно відповідним поняттям для відрізків.

Бісектриса кута — промінь, що виходить з вершини кута і ділить кут на дві рівні частини (пополам). Бісектриси суміжних кутів взаємно перпендикулярні. Бісектриси вертикальних кутів становлять продовження одна одної.

Вимірювання кутів

Мірою кута є величина повороту променя ОА навколо точки О як центра обертання.

Повним кутом називається кут, одержаний при одному повному оберті променя ОА. Точка А при цьому опише коло радіусом ОА.

Половина повного кута становить розгорнутий кут. Четверта частина повного кута складає прямий кут.

Один радіан — це такий центральний кут, дуга якого дорівнює радіусу кола. Позначають радіан скорочено — рад.

Поворот променя ОА на 1 радіан (міжнародне — rad; 1 рад = 57,2957795...°) — це такий поворот, при якому точка А описує дугу, що дорівнює за довжиною відрізку ОА. Отже, в повному оберті 2π радіанів.

В розгорнутому куті π = 3,141592653589... радіанів, в прямому куті π/2 радіанів.

Поширена також градусна система вимірювання кутів.

Один градус (1° — одиниця вимірювання кутів в градусній системі) — це кут, що становить 1/360 частину повного кута. Дуга центрального кута в. 1° становить 1/360 частину, дуги кола. Одна мінута (1') становить 1/60 частину градуса.

Одна секунда (1'') становить 1/60 частину мінута або 1/3600 частину градуса.

В повному оберті — 360°, що є еквівалентним 2 π радіанів.

Отже:

Перехід від градусного вимірювання кутів і дуг до радіанного і навпаки здійснюється відповідно за формулами:

Розгорнутий кут містить 180°. Прямий кут містить 90°. Гострим кутом називається кут, що містить менше ніж 90°; тупим кутом називається кут, що містить більше ніж 90°, але менше 180°.

Для вимірювання кутів і дуг в найпростіших випадках застосовується прилад, який називається транспортиром.

Джерело:

• Довідник з елементарної математики під редакцією П. Ф. Фільчакова. «Наукова думка», Київ.