Алгебра

Означення

Алгебра (від арабського «аль-джебр», частина назви трактату «Китаб аль-джебр валь-мукабала» («Повна книга обчислень шляхом доповнення і рівноваги») узбецького математика і астронома Аль-Хорезмі) — 1) розділ математики, що вивчає властивості дій над різноманітними величинами і розв’язки рівнянь, пов’язаних з цими діями; 2) розділ математики, що вивчає системи об’єктів довільної природи, в яких визначено алгебраїчні операції, аналогічні своїми властивостями діям над числами.

Історія

В наш час алгебра — одна з найважливіших частин математики, яка знаходить застосування не лише у суто теоретичних, але і в практичних галузях науки.

Методи розв'язання рівнянь були відомі ще у II тисячолітті до н. е. переписувачам стародавнього Єгипту (проте вони не застосовували буквеної символіки). У збережених до наших днів математичних папірусах є не тільки задачі, що приводять до рівнянь першої степені з одним невідомим, а й задачі, що приводять до рівнянь виду \(ax^2=b\) (квадратне рівняння).

Ще складніші задачі вміли розв'язувати на початку II тисячоліття до н. е. у древньому Вавилоні: в математичних текстах, виконаних клинописом на глиняних табличках, є квадратні й біквадратні рівняння, системи рівнянь з двома невідомими і навіть найпростіші кубічні рівняння. При цьому вавилоняни також не використовували буквених позначень, а наводили розв'язки типових задач, зводячи розв'язок аналогічних задач до заміни числових значень. В числовій формі наводились також і деякі правила тотожних перетворень. Якщо при розв'язанні рівняння треба було знайти квадратний корінь числа а, яке не є точним квадратом, наближене значення кореня \(x\) знаходили як середнє арифметичне чисел \(x\) і \(a/x\).

Серед математиків давньої Греції (починаючи з VI ст. до н. е) було прийнято висловлювати всі алгебраїчні твердження в геометричній формі. Замість додавання чисел говорили про додавання відрізків, добуток двох чисел тлумачили, як площу прямокутника, а добуток трьох чисел, як об'єм прямокутного паралелепіпеда. Алгебраїчні формули приймали вигляд співвідношень між площами і об'ємами. Наприклад, говорили, що площа квадрата, побудованого на сумі двох відрізків, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на цих відрізках, збільшеною на подвоєну площу прямокутника, побудованого на цих відтинках. Таким чином з'явилися терміни «квадрат числа» (тобто добуток величини на себе), «куб числа», «середнє геометричне». Геометричну форму у греків набув і розв'язок квадратного рівняння — вони шукали сторони прямокутника по заданим периметру та площі.

Геометричний підхід до алгебраїчних проблем обмежував подальший розвиток науки. Наприклад, не можна було додавати величини різних розмірностей (довжини, площі, об'єм), не можна було говорити про добуток більш ніж трьох множників і т. п.

Ідея відмови від геометричного трактування з'явилася у Діофанта Олександрійського, який жив у III ст. У його книзі «Арифметика» з'являється буквена символіка і спеціальні позначення для степенів аж до 6-го степеня. Були у нього і позначення для від'ємних степенів, від'ємних чисел, а також знак рівності (особливого знаку для додавання ще не було), стислий запис правил множення додатних і від'ємних чисел. На подальший розвиток алгебри сильний вплив мали досліджені Діофантом задачі, що приводять до складних систем алгебраїчних рівнянь, у тому числі до систем, де кількість рівнянь була меншою кількості невідомих. Для таких рівнянь Діофант шукав лише додатні раціональні розв'язки.

З VI ст. центр математичних досліджень переміщається в Індію, Китай, країни Близького Сходу та Середньої Азії.

Китайські вчені розробили метод послідовного виключення невідомих для розв'язання систем лінійних рівнянь, дали нові методи наближеного розв'язку рівнянь вищих степенів.

Індійські математики використовували від'ємні числа, вдосконалили буквену символіку.

Однак лише в працях вчених Близького Сходу та Середньої Азії алгебра оформилася у самостійну галузь математики, що займається розв'язком рівнянь. У IХ ст. узбецький математик і астроном Мухаммед аль-Хорезмі написав трактат «Китаб аль-джебр валь-мукабала», де дав загальні правила для розв'язання рівнянь першого степеня.

Слово «аль-джебр» (відновлення), від якого нова наука отримала свою назву, означало перенесення від'ємних членів рівняння з однієї частини в іншу з зміною знака.

Вчені Сходу вивчали розв'язок кубічних рівнянь, хоча не зуміли отримати загальної формули для їх коренів.

У Європі вивчення алгебри почалося в XIII ст. Одним з великих математиків цього часу був італієць Леонардо Пізанський (Фібоначчі) (близько. 1170 — після 1228). Його «Книга абака» (1202) — трактат, який містив відомості про арифметику і алгебру до квадратних рівнянь включно.

Першим великим самостійним досягненням західноєвропейських вчених було відкриття в XVI ст. формули для розв'язання кубічного рівняння. Це було заслугою італійських алгебраїстів З. дель Ферро, Н. Тарталья і Дж. Кардано. Учень Дж. Кардано Л. Феррарі розв'язав і рівняння 4-го степеня. Вивчення деяких питань, пов'язаних з коренями кубічних рівнянь, привело італійського алгебраїста Р. Бомбеллі до відкриття комплексних чисел.

Відсутність зручної і добре розвиненої символіки сковувало подальший розвиток алгебри: найскладніші формули доводилося викладати у словесній формі. Наприкінці XVI в. французький математик Франсуа Вієт ввів буквені позначення не тільки для невідомих, й для довільних постійних величин. Символіка Вієта була вдосконалена його послідовниками. Остаточний вид їй надав на XVII в. французький філософ і математик Декарт Рене, який ввів (вживані донині) позначення для показників степенів.

Поступово розширювався запас чисел, з якими можна було виконувати дії. Завоювали права громадянства від'ємні числа, потім — комплексні, вчені стали вільно застосовувати ірраціональні числа. При цьому виявилося, що, попри таке розширення запасу чисел, раніше встановлені правила алгебраїчних перетворень зберігають свою силу. Нарешті, Декарту вдалося звільнити алгебру від невластивої їй геометричної форми. Все це дозволило розглядати питання розв'язку рівнянь в самому загальному вигляді, застосовувати рівняння до розв'язання геометричних задач. Наприклад, задача про знаходження точки перетину двох прямих звелася до розв'язку системи рівнянь, яким задовольняли точки цих прямих. Такий метод розв'язку геометричних задач отримав назву аналітичної геометрії.

Розвиток буквеної символіки дозволив встановити загальні твердження щодо алгебраїчних рівнянь:

• теорема Безу про подільності багаточлена \(P(x)\) на двочлен \((x-a)\), де \(a\) — корінь цього багаточлена;
• формула Вієта для співвідношення між коренями квадратного рівняння і його коефіцієнтами;
• правила, які дозволяють оцінювати кількість дійсних коренів рівняння;
• загальні методи виключення невідомих з систем рівнянь.

Особливо далеко в сфері розв'язку систем лінійних рівнянь вдалось просунутись в XVIII ст. — для них були отримано формули, які дозволяють виразити розв'язок через коефіцієнти і вільні члени. Подальше вивчення таких систем рівнянь привело до теорії матриць і визначників.

Наприкінці XVIII ст. було доведено, що будь-яке алгебраїчне рівняння з комплексними коефіцієнтами має хоча б один комплексний корінь. Це твердження називається основною теоремою алгебри.

Протягом двох з половиною століть увагу алгебраїстів була прикута до задачі про виведення формули для розв'язку загального рівняння 5-го степеня. Треба було виразити розв'язок цього рівняння через його коефіцієнти за допомогою арифметичних операцій і коренів (розв'язати рівняння в радикалах). Лише в ХIХ ст. італієць П. Руфіні і норвежець Н. Абель незалежно один від одного довели, що такої формули не існує. Ці дослідження були завершені французьким математиком Е. Галуа, методи якого дозволили для такого рівняння визначити, розв'язується воно в радикалах чи ні. Один з найвизначніших математиків — К. Гаус з'ясував коли можна побудувати циркулем і лінійкою правильний \(n\)-кутник: дана задача була напряму пов’язана з вивченням коренів рівняння \(x^n = 1\). З'ясувалося, що вона розв'язна лише тоді, коли число n є простим числом Ферма чи добутком кількох різних простих чисел Ферма. Тим самим молодий студент (Гаусу було тоді лише 19 років) розв'язав задачу, якою безуспішно займалися вчені понад два тисячоліття.

На початку ХIХ, було розв'язано основні задачі, що стояли перед алгеброю в першому тисячолітті її розвитку. Були розроблені правила буквеного числення для раціональних і ірраціональних виразів, з'ясоване питання про можливість розв'язання рівнянь в радикалах і побудована строга теорія комплексних чисел.

Після створення теорії комплексних чисел постало питання про існування «гіперкомплексних чисел» — чисел з кількома «уявними одиницями». Таку систему чисел, які мали вигляд \(a + bi + cj + dk\), де \(i^2 = j^2 = k^2 = -1\), побудував в 1843 р. ірландський математик Вільям Гамільтон, назвавши їх «кватерніонами».

З операціями, властивості яких лише частково нагадують властивості арифметичних операцій, математики ХIХ ст. зіштовхнулися і в інших питаннях. У 1858 р. англійський математик А. Келі ввів загальну операцію множення матриць і вивчив її властивості. Виявилося, що до множення матриць зводиться багато вивчених раніше операції. Англійський логік Джордж Буль в середині ХIХ ст. почав вивчати операції над висловлюваннями, які дозволяли з двох даних висловлювань побудувати третє, а наприкінці ХIХ ст. німецький математик Г. Кантор ввів операції над множинами: об'єднання, перетин тощо.

Вивчивши властивості операцій додавання і множення над множинами раціональних, дійсних і комплексних чисел, математики створили загальне поняття поля — множини, де визначено ці дві операції, причому виконуються їх звичайні властивості. Дослідження операції множення матриць призвело до виділення поняття групи, яке є нині одним з найважливіших не тільки в алгебрі, але й в усій математиці.

Джерела:

• Матеріал з Вікіпедії (http://www.wikipedia.org) — вільної енциклопедії.
• Велика Енциклопедія Кирила і Мефодія (Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия).