ГоловнаГеометріяВектор

Вектор

Вектор — це величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком. Під направленим відрізком \(\vec{AB}\) розуміють впорядковану пару точок, перша з яких — точка \(A\) — називається його початком, а друга — \(B\) — його кінцем. В геометрії розглядають вектори, що не залежать від точки прикладання (вільні вектори).

Вектори позначають двома способами:

  • малими буквами латинського алфавіту (наприклад, \(\vec{a}\));
  • двома великими буквами латинського алфавіту (наприклад, \(\vec{AB}\)), де перша буква — початок вектора, а друга — кінець.

Графічно вектори зображають у вигляді направлених відрізків певної довжини \(\vec{AB}\).

Рис.1. Вектор AB з початком в A і кінцем в B.
Рис. 1. Вектор \(AB\) з початком в \(A\) і кінцем в \(B\).
Поняття вектора з'явилося в роботах німецького математика XIX ст. Г. Грассмана та ірландського математика У. Гамільтона. Згодом воно було охоче сприйняте багатьма математиками і фізиками. В сучасній математиці це поняття відіграє дуже важливу роль.

Чисельне значення \(\vec{a}\) називається модулем чи довжиною і позначається \(|\vec{a}|\). Довжина вектора — це довжина відрізка, що зображає цей вектор.

Вектори \(\vec{AB}\) і \(\vec{CD}\) називають протилежно напрямленими, якщо протилежно напрямлені півпрямі \(AB\) і \(CD\).

Вектори \(\vec{AB}\) і \(\vec{CD}\) називають співнапрямленими, якщо співнапрямлені півпрямі \(AB\) і \(CD\).

Рис.2. Протилежно напрямлені вектори.
Рис. 2. Протилежно напрямлені вектори.
Рис.3. Співнапрямлені вектори.
Рис. 3. Співнапрямлені вектори.

Вектор, початок і кінець якого збігаються, називається нульовим і позначається \(\vec{0}\). Нульовий вектор має довжину 0. Напрям нульового вектора не визначений. Нульовий вектор прийнято рахувати співнапрямленим з будь-яким вектором. Вважається, що нульовий вектор одночасно паралельний і перпендикулярний будь-якому вектору.

Колінеарними називаються вектори, які зображаються відрізками, що лежать на одній прямій чи на паралельних прямих.

Два вектора називаються рівними, якщо вони однієї довжини і їх напрямки збігаються.

Одиничний вектор (орт) — вектор, довжина якого рівна одиниці.

Вектори на площині

Числа

\[a_x=x_2-x_1, a_y=y_2-y_1\]

називаються координатами вектора \(\vec{a}\) з початком \(A(x_1; y_1)\) і кінцем \(B(x_2; y_2)\).

Примітка 1. Всі координати нульового вектора дорівнюють нулю.
Примітка 2. Вектори рівні, коли їх відповідні координати рівні.

Вектор з координатами \(a_x\) і \(a_y\) позначається

\[\vec{\big(a_x; a_y\big)}.\]

Вектор \(a\) з координатами \(a_x\) і \(a_y\) позначається

\[\vec{a}\big(a_x; a_y\big).\]

Використовуючи означення координат вектора довжину можна записати формулою

\[|\vec{a}|=\sqrt{a_{x}^2+a_{y}^2}.\]

Дії над векторами на площині

Сумою векторів \(\vec{a}\big(a_x; a_y\big)\) і \(\vec{b}\big(b_x; b_y\big)\) називають вектор

\[\vec{c}\big(a_x+b_x; a_y+b_y\big).\]

Геометрично суму двох векторів можна знайти за:

  • правилом трикутника;
  • правилом паралелограма.

Правило трикутника

Для складання двох векторів \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\) за правилом трикутника обидва ці вектора переносяться паралельно самим собі так, щоб початок одного з них збігався з кінцем іншого. Тоді вектор суми задається третьою стороною трикутника, що утворився, причому його початок збігається з початком першого вектора.

Рис.4. Правило трикутника.
Рис. 4. Правило трикутника.

Правило паралелограма

Для складання двох векторів \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\) за правилом паралелограма обидва ці вектора переносяться паралельно самим собі так, щоб їх початки збігалися. Тоді вектор суми задається діагоналлю побудованого на них паралелограма, яка виходить з їх спільного початку.

Рис.5. Правило паралелограма.
Рис. 5. Правило паралелограма.

Різницею векторів \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\) називають такий вектор \(\vec{c}\), який в сумі з \(\vec{b}\) дає \(\vec{a}\).

Рис.6. Різниця векторів.
Рис. 6. Різниця векторів.

Добуток вектора

\[\vec{\big(a_x; a_y\big)}.\]

на число \(\lambda\) називається вектор

\[\vec{\big(\lambda a_x; \lambda a_y\big)}.\]

Два вектори \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\) колінеарні тоді і лише тоді, коли їх відповідні координати пропорційні

\[\frac{a_x}{b_x}=\frac{a_y}{b_y}.\]

Скалярним добутком векторів \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\) називається число, яке рівне сумі добутків відповідних координат, тобто

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y.\]

Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними, тобто

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos{\big(\hat{\vec{a} ;\vec{b}}\big)}.\]

де \(\big(\hat{\vec{a} ;\vec{b}}\big)\) — кут між векторами \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\).

Популярні статті