Вектор
Вектор — це величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком. Під направленим відрізком \(\vec{AB}\) розуміють впорядковану пару точок, перша з яких — точка \(A\) — називається його початком, а друга — \(B\) — його кінцем. В геометрії розглядають вектори, що не залежать від точки прикладання (вільні вектори).
Вектори позначають двома способами:
- малими буквами латинського алфавіту (наприклад, \(\vec{a}\));
- двома великими буквами латинського алфавіту (наприклад, \(\vec{AB}\)), де перша буква — початок вектора, а друга — кінець.
Графічно вектори зображають у вигляді направлених відрізків певної довжини \(\vec{AB}\).
Чисельне значення \(\vec{a}\) називається модулем чи довжиною і позначається \(|\vec{a}|\). Довжина вектора — це довжина відрізка, що зображає цей вектор.
Вектори \(\vec{AB}\) і \(\vec{CD}\) називають протилежно напрямленими, якщо протилежно напрямлені півпрямі \(AB\) і \(CD\).
Вектори \(\vec{AB}\) і \(\vec{CD}\) називають співнапрямленими, якщо співнапрямлені півпрямі \(AB\) і \(CD\).
Вектор, початок і кінець якого збігаються, називається нульовим і позначається \(\vec{0}\). Нульовий вектор має довжину 0. Напрям нульового вектора не визначений. Нульовий вектор прийнято рахувати співнапрямленим з будь-яким вектором. Вважається, що нульовий вектор одночасно паралельний і перпендикулярний будь-якому вектору.
Колінеарними називаються вектори, які зображаються відрізками, що лежать на одній прямій чи на паралельних прямих.
Два вектора називаються рівними, якщо вони однієї довжини і їх напрямки збігаються.
Одиничний вектор (орт) — вектор, довжина якого рівна одиниці.
Вектори на площині
Числа
називаються координатами вектора \(\vec{a}\) з початком \(A(x_1; y_1)\) і кінцем \(B(x_2; y_2)\).
Вектор з координатами \(a_x\) і \(a_y\) позначається
Вектор \(a\) з координатами \(a_x\) і \(a_y\) позначається
Використовуючи означення координат вектора довжину можна записати формулою
Дії над векторами на площині
Сумою векторів \(\vec{a}\big(a_x; a_y\big)\) і \(\vec{b}\big(b_x; b_y\big)\) називають вектор
Геометрично суму двох векторів можна знайти за:
- правилом трикутника;
- правилом паралелограма.
Правило трикутника
Для складання двох векторів \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\) за правилом трикутника обидва ці вектора переносяться паралельно самим собі так, щоб початок одного з них збігався з кінцем іншого. Тоді вектор суми задається третьою стороною трикутника, що утворився, причому його початок збігається з початком першого вектора.
Правило паралелограма
Для складання двох векторів \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\) за правилом паралелограма обидва ці вектора переносяться паралельно самим собі так, щоб їх початки збігалися. Тоді вектор суми задається діагоналлю побудованого на них паралелограма, яка виходить з їх спільного початку.
Різницею векторів \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\) називають такий вектор \(\vec{c}\), який в сумі з \(\vec{b}\) дає \(\vec{a}\).
Добуток вектора
на число \(\lambda\) називається вектор
Два вектори \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\) колінеарні тоді і лише тоді, коли їх відповідні координати пропорційні
Скалярним добутком векторів \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\) називається число, яке рівне сумі добутків відповідних координат, тобто
Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними, тобто
де \(\big(\hat{\vec{a} ;\vec{b}}\big)\) — кут між векторами \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\).