Нерівності

Два вирази або числа, з’єднані знаком \(>\), \(<\), \(\geq\) або \(\leq\), утворюють нерівність.

Нерівності, що містять знаки \(>\) або \(<\), називаються строгими, а нерівності, що містять знаки \(\geq\) або \(\leq\), називаються нестрогими.

Вказівки до розв’язування нерівностей з однією змінною

1. Нерівності з однією змінною мають вигляд:

Розв’язком нерівності називається множина значень змінної, при яких дана нерівність буде правильною числовою нерівністю.

Дві нерівності називаються рівносильними, якщо множини їхніх розв’язків збігаються.

Основна ідея розв’язування нерівності полягає в заміні нерівності більш простою, але рівносильною заданій.

2. При розв’язуванні нерівності використовують такі правила перетворення нерівності в рівносильну:

а) будь-який член нерівності можна перенести з однієї її частини в іншу з протилежним знаком, залишивши при цьому без зміни знак нерівності;

б) обидві частини нерівності можна помножити або поділити на одне й те саме додатне число, залишивши при цьому без зміни знак нерівності;

в) обидві частини нерівності можна помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний;

г) якщо для одних і тих самих значень  справедливі нерівності

то для тих самих значень \(x\) виконується нерівність

3. Нехай задана нерівність має вигляд

(замість знака \(>\) можуть бути знаки \(<\), \(\geq\), \(\leq\), а функція в знаменнику може бути сталою) або вона приведена до цього вигляду за допомогою правил вказівки 2.

Для розв’язування нерівності застосовується метод інтервалів (метод проміжків), який полягає в тому, що:

а) на числову вісь наносять точки

що розбивають її на проміжки, в яких вираз

визначено і зберігає знак (плюс або мінус). Такими точками можуть бути корені рівнянь

Відповідні цим кореням точки позначають на числовій осі: зафарбованими кружками — точки, що задовольняють задану нерівність, а світлими кружками — точки, що не задовольняють її;

б) відшукують і позначають на числовій осі знак виразу

для значень \(x\), які належать кожному з одержаних проміжків. Якщо функції

є многочленами і не містять множників виду

то достатньо визначити знак функції

в будь-якому такому проміжку, а в решті проміжків знаки плюс і мінус будуть чергуватися.

Якщо ж у чисельнику і знаменнику дробу

є множник виду

то, покладаючи \(x \ne a,\) ділять обидві частини заданої нерівності на множник

додатний при всіх значеннях \(x \ne a,\) (дивіться вказівку 2), і безпосередньою перевіркою з’ясовують, чи задовольняє значення \(x=a\) задану нерівність.

4. Розглянемо розв’язування квадратної нерівності

у випадку від’ємного дискримінанта квадратного тричлена

Якщо \(a > 0\), то нерівність (1) виконується при всіх значеннях \(x\).

Якщо ж \(a < 0\), то нерівність не виконується ні при якому значенні \(x\).

5. Ірраціональна нерівність

рівносильна системі нерівностей

6. Ірраціональна нерівність

рівносильна сукупності двох систем нерівностей

\[\begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ { \Big( \sqrt{f(x)} \Big)}^2 > { \Big( g(x) \Big)}^2 \end{cases}\]	\[(5)\]
\[\begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) < 0 \end{cases}\]

7. Показникова нерівність

При \(a > 1\) рівносильна нерівності

а при \(0 < a < 1\) — нерівності

8. Логарифмічна нерівність

При \(a > 1\) рівносильна системі нерівностей

а при \(0 < a < 1\) — системі нерівностей

Джерело

• Збірник задач з математики за редакцією М.І.Сканаві (3-тє видання, Київ, 1996)