Степені і корені
1. Степінь з натуральним показником
\[a^m \cdot a^n = a^{m+n}\]
\[\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\]
\[{ \Big(a \cdot b \Big) }^n = a^n \cdot b^n\]
\[{(a^m)}^n = a^{m \cdot n}\]
\[\Big(\frac{a}{b}\Big)^n = \frac{a^n}{b^n}\]
Якщо \(a>b, b>0\), то
\[a^n > b^n.\]
Обчислення степеня
\[a^n = b\]
2. Степінь з цілим показником
\[a^{-n} = \frac{1}{a^{n}},\]
де \(a \ne 0\), \(n\) — ціле.
\[a^{0} = 1\]
3. Степінь з раціональним показником
\[a^{ \frac{m}{n} } = \sqrt[n]{a^m},\]
де \(a > 0\), \(m\) — ціле, \(n\) — натуральне.
4. Арифметичний корінь
\[\sqrt{a^2} = |a|\]
\[\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\]
\[\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt{b} }\]
\[\sqrt{b^2 \cdot a} = |b| \sqrt{a}\]
Якщо
\[\sqrt[n]{a} = b,\]
то
\[b^{n}=a, ~ b\geq 0.\]
\[\sqrt[n]{ \sqrt[k]{a} } = \sqrt[nk]{a}\]
\[\sqrt[n]{a^{k}} = {\Big(\sqrt[n]{a}\Big)}^k\]
Обчислення кореня
\[\sqrt[n]{a} = b\]
Винесення множника з-під знака кореня
- Підкореневий вираз розкладіть на множники, серед яких є квадрати виразів.
- Застосуйте теорему про корінь з добутку.
- Знайдіть добуток одержаних множників.
- Запишіть відповідь.
Внесення множника під знак кореня
- Множник перед знаком кореня піднесіть до квадрата.
- Запишіть одержаний квадрат під знаком даного кореня.
- Знайдіть добуток виразів під знаком кореня.
- Запишіть відповідь.