Логарифм

Щоб завантажити файл , виберіть один із сервісів

Для того, щоб файли були завжди доступні, вони збережені на різних сервісах. Звідти ви можете завантажити їх абсолютно безкоштовно. Якщо вам не вдалось цього зробити, то напишіть нам.

Логарифмом числа \(b\) за основою \(a\) називається показник степеня \(x\), до якого слід піднести основу \(a\), щоб одержати число \(b\), де \(a>0, a \neq 1, b>0\):

\[\log_{a}b = x\]

Якщо основа дорівнює 10, то такий логарифм називається десятковим і позначається

\[\lg b = x\]

без вказання основи.

Якщо основа логарифма дорівнює числу \(e\), то логарифм називається натуральним і записується

\[\ln b = x\]

Основна логарифмічна тотожність

\[b = a^{\log_{a}b}, b>0.\]

Властивості логарифму:

1) \[\log_{a}a = 1\]
2) \[\log_{a}1 = 0\]
3) \[\log_{a}{(b \cdot c)} = \log_{a}b + \log_{a}c\]
4) \[\log_{a}{\Big(\frac{b} {c}\Big)} = \log_{a}b - \log_{a}c\]
5) \[\log_{a}{x^p} = p \cdot \log_{a}x\]
6) \[\log_{a}x = \frac{ \log_{b}x }{ \log_{b}a }\]
(формула переходу до нової основи)
7) \[\log_{a}b = \frac{ 1 }{ \log_{b}a }\]
8) \[\log_{a}b = \log_{ a^p}{b^p} = p \cdot \log_{ a^p}b\]
9) \[a^{ \log_{a}b} = b\]
10) \[\log_{c}a \cdot \log_{a}b = \log_{c}b\]
11) \[\log_{a^\alpha} {b^\beta} = \frac{\beta}{\alpha} \cdot \log_{a}b\]
12) \[a^{ \log_{c}b} = b^{ \log_{c}a}\]
13) \[\log_{a^{\alpha}} b = \frac { \log_{ a}b }{ \log_{ a}a^{ \alpha} } = \frac{1}{\alpha} \cdot \log_{a}b\]
14) \[\log_{c}{a^{\log_{c}b}} = \log_{c}{b^{\log_{c}a}}\]
15) \[\log_{c}b \cdot \log_{c}a = \log_{c}a \cdot \log_{c}b\]

Обчислення логарифма

\[y = \log_{a}x, ~ де ~ a>0, a \neq 1, x>0\]
\(a\) \(=\)
\(x\) \(=\)
\(y\) \(=\)

Перетворення, при якому логарифм виразу зі змінними зводиться до суми або різниці логарифмів, називається логарифмуванням. Обернене до логарифмування перетворення називається потенціюванням.