Логарифм
Логарифмом числа \(b\) за основою \(a\) називається показник степеня \(x\), до якого слід піднести основу \(a\), щоб одержати число \(b\), де \(a>0, a \neq 1, b>0\):
\[\log_{a}b = x\]
Якщо основа дорівнює 10, то такий логарифм називається десятковим і позначається
\[\lg b = x\]
без вказання основи.
Якщо основа логарифма дорівнює числу \(e\), то логарифм називається натуральним і записується
\[\ln b = x\]
Основна логарифмічна тотожність
\[b = a^{\log_{a}b}, b>0.\]
Властивості логарифму:
| 1) | \[\log_{a}a = 1\] |
| 2) | \[\log_{a}1 = 0\] |
| 3) | \[\log_{a}{(b \cdot c)} = \log_{a}b + \log_{a}c\] |
| 4) | \[\log_{a}{\Big(\frac{b} {c}\Big)} = \log_{a}b - \log_{a}c\] |
| 5) | \[\log_{a}{x^p} = p \cdot \log_{a}x\] |
| 6) |
\[\log_{a}x = \frac{ \log_{b}x }{ \log_{b}a }\]
(формула переходу до нової основи)
|
| 7) | \[\log_{a}b = \frac{ 1 }{ \log_{b}a }\] |
| 8) | \[\log_{a}b = \log_{ a^p}{b^p} = p \cdot \log_{ a^p}b\] |
| 9) | \[a^{ \log_{a}b} = b\] |
| 10) | \[\log_{c}a \cdot \log_{a}b = \log_{c}b\] |
| 11) | \[\log_{a^\alpha} {b^\beta} = \frac{\beta}{\alpha} \cdot \log_{a}b\] |
| 12) | \[a^{ \log_{c}b} = b^{ \log_{c}a}\] |
| 13) | \[\log_{a^{\alpha}} b = \frac { \log_{ a}b }{ \log_{ a}a^{ \alpha} } = \frac{1}{\alpha} \cdot \log_{a}b\] |
| 14) | \[\log_{c}{a^{\log_{c}b}} = \log_{c}{b^{\log_{c}a}}\] |
| 15) | \[\log_{c}b \cdot \log_{c}a = \log_{c}a \cdot \log_{c}b\] |
Обчислення логарифма
\[y = \log_{a}x, ~ де ~ a>0, a \neq 1, x>0\]
Перетворення, при якому логарифм виразу зі змінними зводиться до суми або різниці логарифмів, називається логарифмуванням. Обернене до логарифмування перетворення називається потенціюванням.