Нерівності

Щоб завантажити файл , виберіть один із сервісів

Для того, щоб файли були завжди доступні, вони збережені на різних сервісах. Звідти ви можете завантажити їх абсолютно безкоштовно. Якщо вам не вдалось цього зробити, то напишіть нам.

Два вирази або числа, з’єднані знаком \(>\), \(<\), \(\geq\) або \(\leq\), утворюють нерівність.

Нерівності, що містять знаки \(>\) або \(<\), називаються строгими, а нерівності, що містять знаки \(\geq\) або \(\leq\), називаються нестрогими.

Вказівки до розв’язування нерівностей з однією змінною

1. Нерівності з однією змінною мають вигляд:

\[f(x) > g(x),\]
\[f(x) < g(x),\]
\[f(x) \geq g(x),\]
\[f(x) \leq g(x).\]

Розв’язком нерівності називається множина значень змінної, при яких дана нерівність буде правильною числовою нерівністю.

Дві нерівності називаються рівносильними, якщо множини їхніх розв’язків збігаються.

Основна ідея розв’язування нерівності полягає в заміні нерівності більш простою, але рівносильною заданій.

2. При розв’язуванні нерівності використовують такі правила перетворення нерівності в рівносильну:

а) будь-який член нерівності можна перенести з однієї її частини в іншу з протилежним знаком, залишивши при цьому без зміни знак нерівності;

б) обидві частини нерівності можна помножити або поділити на одне й те саме додатне число, залишивши при цьому без зміни знак нерівності;

в) обидві частини нерівності можна помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний;

г) якщо для одних і тих самих значень  справедливі нерівності

\[f(x)>0, g(x)>0 ~~ і ~~ f(x)>g(x),\]

то для тих самих значень \(x\) виконується нерівність

\[{\Big( f(x) \Big)}^n > {\Big( g(x) \Big)}^n, ~n \in \mathbb{N}.\]

3. Нехай задана нерівність має вигляд

\[\frac{f(x)}{g(x)} > 0\]

(замість знака \(>\) можуть бути знаки \(<\), \(\geq\), \(\leq\), а функція в знаменнику може бути сталою) або вона приведена до цього вигляду за допомогою правил вказівки 2.

Для розв’язування нерівності застосовується метод інтервалів (метод проміжків), який полягає в тому, що:

а) на числову вісь наносять точки

\[x_1, x_2, ..., x_n\]

що розбивають її на проміжки, в яких вираз

\[\frac{f(x)}{g(x)},\]

визначено і зберігає знак (плюс або мінус). Такими точками можуть бути корені рівнянь

\[f(x)=0 ~~і~~ g(x)=0.\]

Відповідні цим кореням точки позначають на числовій осі: зафарбованими кружками — точки, що задовольняють задану нерівність, а світлими кружками — точки, що не задовольняють її;

б) відшукують і позначають на числовій осі знак виразу

\[\frac{f(x)}{g(x)},\]

для значень \(x\), які належать кожному з одержаних проміжків. Якщо функції

\[f(x) ~~і~~ g(x)\]

є многочленами і не містять множників виду

\[{(x-a)}^{2n}, ~де~ n \in \mathbb{N},\]

то достатньо визначити знак функції

\[\frac{f(x)}{g(x)}\]

в будь-якому такому проміжку, а в решті проміжків знаки плюс і мінус будуть чергуватися.

Якщо ж у чисельнику і знаменнику дробу

\[\frac{f(x)}{g(x)}\]

є множник виду

\[{(x-a)}^{2n}, ~де~ n \in \mathbb{N},\]

то, покладаючи \(x \ne a,\) ділять обидві частини заданої нерівності на множник

\[{(x-a)}^{2n},\]

додатний при всіх значеннях \(x \ne a,\) (дивіться вказівку 2), і безпосередньою перевіркою з’ясовують, чи задовольняє значення \(x=a\) задану нерівність.

4. Розглянемо розв’язування квадратної нерівності

\[ax^2 + bx + c > 0 ~~~ (1)\]

у випадку від’ємного дискримінанта квадратного тричлена

\[ax^2 + bx + c ~~ (D = b^2 - 4ac < 0).\]

Якщо \(a > 0\), то нерівність (1) виконується при всіх значеннях \(x\).

Якщо ж \(a < 0\), то нерівність не виконується ні при якому значенні \(x\).

5. Ірраціональна нерівність

\[\sqrt{f(x)} < g(x) ~~~ (2)\]

рівносильна системі нерівностей

\[\begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) > 0 \\ { \Big( \sqrt{f(x)} \Big)}^2 < { \Big(g(x) \Big)}^2 \end{cases} ~~~ (3)\]

6. Ірраціональна нерівність

\[\sqrt{f(x)} > g(x) ~~~ (4)\]

рівносильна сукупності двох систем нерівностей

\[\begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ { \Big( \sqrt{f(x)} \Big)}^2 > { \Big( g(x) \Big)}^2 \end{cases}\] \[(5)\]
\[\begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) < 0 \end{cases}\]

7. Показникова нерівність

\[a^{f(x)} > a^{g(x)} ~~~ (6)\]

При \(a > 1\) рівносильна нерівності

\[f(x)>g(x) ~~~ (7)\]

а при \(0 < a < 1\) — нерівності

\[f(x) < g(x) ~~~ (8)\]

8. Логарифмічна нерівність

\[\log_a{f(x)} > \log_a{g(x)} ~~~ (9)\]

При \(a > 1\) рівносильна системі нерівностей

\[\begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) > g(x) \end{cases} ~~~ (10)\]

а при \(0 < a < 1\) — системі нерівностей

\[\begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < g(x) \end{cases} ~~~~~~ (11)\]

Джерело

  • Збірник задач з математики за редакцією М.І.Сканаві (3-тє видання, Київ, 1996)