Тригонометричні рівняння

Щоб завантажити файл , виберіть один із сервісів

Для того, щоб файли були завжди доступні, вони збережені на різних сервісах. Звідти ви можете завантажити їх абсолютно безкоштовно. Якщо вам не вдалось цього зробити, то напишіть нам.

Рівняння називається тригонометричним, якщо невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій.

Найпростіші тригонометричні рівняння

Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння \(\sin x = a\), \(\cos x = a\), \(\operatorname{tg} x = a\), \(\operatorname{ctg} x = a\).

Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння — означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення тригонометричної функції. Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.

1. Розв’язання рівняння \(\sin x = a\)

Всі розв’язки рівняння

\[\sin x = a, |a| \leq 1\]

записуються у вигляді

\[x = {(-1)}^{k} \arcsin a + \pi k, k \in Z.\]

Окремі випадки:

\[\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k, ~k \in Z.\]
\[\sin x = \pm 1 \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi k, ~k \in Z.\]

2. Розв’язання рівняння \(\cos x = a\)

Всі розв’язки рівняння

\[\cos x = a, |a| \leq 1\]

записуються у вигляді

\[x = \pm \arccos a + 2 \pi k, ~k \in Z.\]

Окремі випадки:

\[\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, ~k \in Z.\]
\[\cos x = 1 \Rightarrow x = 2 \pi k, ~k \in Z.\]
\[\cos x = - 1 \Rightarrow x = \pi + 2 \pi k, ~k \in Z.\]

3. Розв’язання рівняння \(\operatorname{tg} x = a\)

Всі розв’язки рівняння

\[\operatorname{tg} x = a\]

записуються у вигляді

\[x = \operatorname{arctg} a + \pi k, ~k \in Z.\]

Окремий випадок:

\[\operatorname{tg} x = 0 \Rightarrow x = \pi k, ~k \in Z.\]

4. Розв’язання рівняння \(\operatorname{ctg} x = a\)

Всі розв’язки рівняння

\[\operatorname{ctg} x = a\]

записуються у вигляді

\[x = \operatorname{arcctg} a + \pi k, ~k \in Z.\]

Окремий випадок:

\[\operatorname{ctg} x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, ~k \in Z.\]

Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь

\(\big(\) \(x\big) = \)
\(k = \)