Похідна функції

Щоб завантажити файл , виберіть один із сервісів

Для того, щоб файли були завжди доступні, вони збережені на різних сервісах. Звідти ви можете завантажити їх абсолютно безкоштовно. Якщо вам не вдалось цього зробити, то напишіть нам.

Похідною функції \(f\) у точці \(x_0\) називається границя, до якої прямує відношення

\[\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x},\]

якщо \(\Delta x\) наближається до нуля.

Отже,

\[f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} }.\]

Функція, яка має похідну в точці \(x_0\), називається диференційованою в цій точці.

Поняття похідної та диференційованості функції в точці є тотожними. Тому часто операцію знаходження похідної називають диференціюванням функції.

Формули диференціювання

\[c' = 0, ~де~c~–~константа~(число)\]
\[(x)' = 1\]
\[(x^k)' = k \cdot x^{k-1}\]
\[(\sin x)' = \cos x\]
\[(\cos x)' = - \sin x\]
\[(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2{x}}\]
\[(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2{x}}\]
\[(e^x)' = e^x\]
\[(a^x)' = a^x \cdot \ln{a}\]
\[(\log_{a}{x})' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]
\[(\ln{x})' = \frac{1}{x}\]

Якщо \(u(x)\) і \(v(x)\) деякі функції, то:

  1. \((u \pm v)' = u' \pm v'\)
  2. \((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\)
  3. \((c \cdot u)' = c \cdot u'\)
  4. \(\Big( u(k \cdot x + b) \Big)' = k \cdot u'(k \cdot x +b)\), де \(k,~b\) – константи
  5. \(\large (\frac{u}{v})' = \large \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}\)

Рівняння дотичної до графіка функції \(y = f(x)\)

Рівняння дотичної до графіка функції \(y = f(x)\) має вигляд

\[y - y_0 = f'(x_0)(x-x_0)\]

де \((x_0;y_0)\) — точка дотику.