Комплексні числа

Щоб завантажити файл , виберіть один із сервісів

Для того, щоб файли були завжди доступні, вони збережені на різних сервісах. Звідти ви можете завантажити їх абсолютно безкоштовно. Якщо вам не вдалось цього зробити, то напишіть нам.

У багатьох розділах математики та її застосуваннях неможливо обмежитись розглядом лише дійсних чисел. Вже досить давно під час розв’язування різних задач виникла потреба добувати квадратний корінь з від’ємних чисел. Щоб ця дія стала можливою, ввели множину нових чисел.

Означення комплексного числа і уявної одиниці

Число \(a+bi\), де \(a\) і \(b\) — будь-які дійсні числа, \(i\) — уявна одиниця, називається комплексним числом (\(a\) — дійсна частина, \(bi\) — уявна частина комплексного числа, а \(b\) — коефіцієнт при уявній частині).

Число, квадрат якого дорівнює \(-1\), позначають буквою \(i\) і називають уявною одиницею (\(i\) — перша буква латинського слова imaginarius — уявний).

Тобто, для символу \(i\) виконується рівність

\[i \cdot i = i^2 = -1.\]

Запис \(a+bi\) називають алгебраїчною формою комплексного числа.

Примітка! Слово «комплексний» означає складений.

Часто комплексне число позначають буквою \(z\) і записують \(z=a+bi\).

Комплексні числа — це розширення числової системи дійсних чисел. Позначаються вони буквою \(\mathbb{C}\).

Множина дійсних чисел є частиною (підмножиною) множини комплексних чисел.

Для комплексних чисел означені алгебраїчні операції додавання та множення, які узагальнюють додавання та множення дійсних чисел із зберіганням властивостей асоціативності, комутативності та дистрибутивності.

Які комплексні числа називаються рівними, спряженими, протилежними?

Два комплексних числа \(a+bi\) і \(c+di\) рівні між собою тоді і тільки тоді, коли \(a=c\) і \(b=d\), тобто, коли рівні їх дійсні частини і коефіцієнти при уявних частинах.

Поняття «більше» і «менше» для комплексних чисел не має сенсу. Ці числа за величиною не порівнюють. Тому не можна, наприклад, сказати, яке з двох комплексних чисел більше \(10i\) чи \(3i\), \(2+5i\) чи \(5+2i\).

Числа \(a+bi\) і \(a-bi\), дійсні частини яких рівні, а коефіцієнти при уявних частинах рівні за модулем, але протилежні за знаком, називають спряженими.

Приклади.

  1. Спряженими є комплексні числа \(4+3i\) та \(4-3i\).
  2. Якщо дано число \(6i\), то спряженим до нього є \(-6i\).
  3. До числа \(11\) спряженим буде \(11\), бо \(11+0i = 11-0i\).

Числа \(a+bi\) і \(-a-bi\) називаються протилежними. Тобто, два числа \(a+bi\) та \(-a-bi\), сума яких дорівнює нулю, називають протилежними.

Дії над комплексними числами.

Нехай дано два комплексні числа \(z_1=a_1+b_1 i\) і \(z_2=a_2+b_2 i\).

а) Додавання комплексних чисел

Сумою двох комплексних чисел \(a_1+b_1 i\) і \(a_2+b_2 i\) називається комплексне число \((a_1+a_2 )+(b_1+b_2 )i\), дійсна частина якого і коефіцієнт при уявній частині дорівнюють відповідно сумі дійсних частин і коефіцієнтів при уявних частинах додатків.

Приклади (додавання комплексних чисел):

  1. \((-3+5i)+(4-8i)=(-3+4)+(5-8)i=1-3i\)
  2. \((3+2i)+(-1-5i)=(3-1)+(2-5)i=2-3i\)
  3. \((2+3i)+(6-3i)=(2+6)+(3-3)i=8-0i=8\)
  4. \((10-3i)+(-10+3i)=(10-10)+(-3+3)i=0-0i=0\)
Примітка! Означення суми комплексних чисел поширюється і на випадок трьох і більше доданків.

Додавання комплексних чисел

\(z_1\) \(=\) \(+\) \(i\)
\(z_2\) \(=\) \(+\) \(i\)

б) Віднімання комплексних чисел

Різницею двох комплексних чисел \(a_1+b_1 i\) і \(a_2+b_2 i\) називається комплексне число \((a_1-a_2 )+(b_1-b_2 )i\).

Приклади (віднімання комплексних чисел):

  1. \((-5+2i)-(3-5i)=(-5-3)+(2-(-5) )i=-8+7i\)
  2. \((6+7i)-(6-5i)=(6-6)+(7+5)i=12i\)
  3. \((0,3+2,5i)-(-0,75+1,5i) =\)
    \(=(0,3+0,75)+(2,5-1,5)i=1,05+i\)

Віднімання комплексних чисел

\(z_1\) \(=\) \(+\) \(i\)
\(z_2\) \(=\) \(+\) \(i\)

в) Множення комплексних чисел

Добутком двох комплексних чисел \(a_1+b_1 i\) і \(a_2+b_2 i\) називається комплексне число \((a_1 a_2-b_1 b_2 )+(a_1 b_2+b_1 a_2 )i\).

Приклад (множення комплексних чисел):

\((1-2i) \cdot (3+2i)=(1 \cdot 3-(-2) \cdot 2)+(1 \cdot 2+(-2) \cdot 3)i =\)
\(= (3+4)+(2-6)i=7-4i.\)

Множення комплексних чисел

\(z_1\) \(=\) \(+\) \(i\)
\(z_2\) \(=\) \(+\) \(i\)

Добуток двох спряжених комплексних чисел:

\[(a+bi) \cdot (a-bi)=a^2+b^2.\]

г) Ділення комплексних чисел.

Часткою комплексних чисел \(a_1+b_1 i\) і \(a_2+b_2 i\) називається комплексне число

\[\frac{a_1 a_2+b_1 b_2}{a_2^2+b_2^2} - \frac{a_1 b_2-b_1 a_2}{a_2^2+b_2^2 } i.\]

Приклад (знайти частку комплексних чисел):

\(\frac{\large 7-4i}{\large 3+2i}=\frac{\large (7-4i)(3-2i)}{\large (3+2i)(3-2i)} =\frac{\large 13-26i}{\large 13}=1-2i.\)

Ділення комплексних чисел

\(z_1\) \(=\) \(+\) \(i\)
\(z_2\) \(=\) \(+\) \(i\)

Геометричне зображення комплексного числа

Комплексне число \(z=a+bi\) геометрично зображують точкою \(M(a;b)\) координатної площини.

Геометричне зображення комплексного числа
Геометричне зображення комплексного числа.

Комплексне число зручно зобразити у вигляді вектора

\[\vec{OM}(a; b).\]

Довжина вектора, який зображає комплексне число, називається модулем цього комплексного числа. Модуль комплексного числа позначається \(r\). Тобто

\[r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}.\]

Кут \(\varphi\) між додатним напрямком осі абсцис і вектором \(\vec{OM}\) називається аргументом комплексного числа.

Примітка! Кожне комплексне число, що не дорівнює нулю, має нескінчену множину аргументів, які відрізняються один від одного на \(360^{\circ}k\), де \(k \in \mathbb{Z}\).
\[\cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2 }}\]
\[\sin\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2 }}\]
\[\operatorname{tg}\varphi=\frac{b}{a}\]

Тригонометрична форма комплексного числа.

Виразивши \(a\) і \(b\) через модуль \(r\) і аргумент \(\varphi\), комплексне число \(a+bi\) запишемо у вигляді

\[a+bi=r(\cos{\varphi} + i\sin{\varphi})\]

Права частина цієї тотожності називається тригонометричною формою комплексного числа.

Дії над комплексними числами, які записані у тригонометричній формі

Нехай задано два комплексні числа:

\[z_1=r_1 (\cos\varphi_1 + i \sin\varphi_1),\] \[z_2=r_2 (\cos\varphi_2 + i \sin\varphi_2).\]
  1. Множення

    \[z_1 \cdot z_2 = r_1 \cdot r_2 \Big( \cos(\varphi_1+\varphi_2) + i \sin(\varphi_1+\varphi_2) \Big).\]
  2. Ділення

    \[\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \Big( \cos(\varphi_1-\varphi_2) + i \sin(\varphi_1-\varphi_2 ) \Big).\]
  3. Піднесення до степеня (формула Муавра)

    \[z^n = r^n ( \cos{n\varphi} + i \sin{n\varphi} ).\]
  4. Добування кореня

    \[\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{ r(\cos\varphi+i \sin\varphi) } =\] \[= \sqrt[n]{r} \Big(\cos\frac{\varphi+2πk}{n}+i \sin\frac{\varphi+2πk}{n} \Big),\] \[k=0, 1, 2, ..., n-1.\]