Первісна та інтеграл

Щоб завантажити файл , виберіть один із сервісів

Для того, щоб файли були завжди доступні, вони збережені на різних сервісах. Звідти ви можете завантажити їх абсолютно безкоштовно. Якщо вам не вдалось цього зробити, то напишіть нам.

Первісна

Для знаходження функції за її похідною застосовують операцію інтегрування, обернену до операції диференціювання.

Якщо для всіх \(x\) із заданого проміжку \([a; b]\)

\[F'(x)=f(x),\]

то \(F(x)\) називається первісною для \(f(x)\) на цьому проміжку.

Загальний вигляд первісних для функції \(f(x)\) на проміжку \([a; b]\) є \(F(x)+C\), де \(C\) — довільна стала, а \(F(x)\) — одна з первісних для \(f(x)\) на проміжку \([a; b]\).

Правила знаходження первісних

  1. Якщо \(F(x)\) — первісна для \(f(x)\), а \(G(x)\) — первісна для \(g(x)\), то \(F(x)+G(x)\) — первісна для \(f(x)+g(x)\).
  2. Якщо \(F(x)\) — первісна для \(f(x)\), а \(k\) — стала, то \(k \cdot F(x)\) — первісна для \(k \cdot f(x)\).
  3. Якщо \(F(x)\) — первісна для \(f(x)\), а \(k ~ (k \ne 0)\) і \(b\) — сталі, то \(\frac{1}{k} \cdot F(kx+b)\) — первісна для \(f(kx+b)\).

Площа криволінійної трапеції

Нехай на відрізку \([a; b]\) осі \(Ox\) задано неперервну функцію \(f(x)\), яка не змінює на ньому знак. Фігуру, обмежену графіком цієї функції, відрізком \([a; b]\), прямими \(x=a\) і \(x=b\) (рис. 1), називають криволінійною трапецією.

Площа криволінійної трапеції
Рис.1. Площа криволінійної трапеції.

Площа криволінійної трапеції \(aABb\) (рис. 1), обмежена віссю \(Ox\), прямими \(x=a\) і \(x=b\) та графіком невід’ємної функції \(y=f(x)\) на відрізку \([a; b]\), визначається за формулою

\[S = \int_{a}^{b}{f(x)dx}.\]

Якщо функція \(f(x)\) неперервна і невід’ємна на відрізку \([a; b]\) і \(F(x)\) — первісна для \(f(x)\) на відрізку \([a; b]\), то площу \(S\) криволінійної трапеції знаходять за формулою Ньютона-Лейбніца:

\[S = \int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b)-F(a).\]

Коли неперервна функція \(f(x) \leq 0\) на \([a; b]\), то обчислити площу відповідної криволінійної трапеції можна за формулою:

\[S = -\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{b}^{a}{f(x)dx}.\]

Якщо фігура обмежена графіками двох неперервних функцій \(f_1(x)\) та \(f_2(x)\) і двома прямими \(x=a\) і \(x=b\), де \(f_1(x) \geq f_2(x)\) на відрізку \([a; b]\), то площу такої фігури шукають за формулою:

\[S = \int_{a}^{b}{f_1(x)dx} - \int_{a}^{b}{f_2(x)dx} =\] \[= \int_{a}^{b}{ \Big( f_1(x) - f_2(x) \Big) dx }.\]