Вектор

Щоб завантажити файл , виберіть один із сервісів

Для того, щоб файли були завжди доступні, вони збережені на різних сервісах. Звідти ви можете завантажити їх абсолютно безкоштовно. Якщо вам не вдалось цього зробити, то напишіть нам.

Вектор — це величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком. Під направленим відрізком \(\vec{AB}\) розуміють впорядковану пару точок, перша з яких — точка \(A\) — називається його початком, а друга — \(B\) — його кінцем. В геометрії розглядають вектори, що не залежать від точки прикладання (вільні вектори).

Вектори позначають двома способами:

  • малими буквами латинського алфавіту (наприклад, \(\vec{a}\));
  • двома великими буквами латинського алфавіту (наприклад, \(\vec{AB}\)), де перша буква — початок вектора, а друга — кінець.

Графічно вектори зображають у вигляді направлених відрізків певної довжини \(\vec{AB}\).

Рис.1. Вектор AB з початком в A і кінцем в B.
Рис. 1. Вектор \(AB\) з початком в \(A\) і кінцем в \(B\).
Поняття вектора з'явилося в роботах німецького математика XIX ст. Г. Грассмана та ірландського математика У. Гамільтона. Згодом воно було охоче сприйняте багатьма математиками і фізиками. В сучасній математиці це поняття відіграє дуже важливу роль.

Чисельне значення \(\vec{a}\) називається модулем чи довжиною і позначається \(|\vec{a}|\). Довжина вектора — це довжина відрізка, що зображає цей вектор.

Вектори \(\vec{AB}\) і \(\vec{CD}\) називають протилежно напрямленими, якщо протилежно напрямлені півпрямі \(AB\) і \(CD\).

Вектори \(\vec{AB}\) і \(\vec{CD}\) називають співнапрямленими, якщо співнапрямлені півпрямі \(AB\) і \(CD\).

Рис.2. Протилежно напрямлені вектори.
Рис. 2. Протилежно напрямлені вектори.
Рис.3. Співнапрямлені вектори.
Рис. 3. Співнапрямлені вектори.

Вектор, початок і кінець якого збігаються, називається нульовим і позначається \(\vec{0}\). Нульовий вектор має довжину 0. Напрям нульового вектора не визначений. Нульовий вектор прийнято рахувати співнапрямленим з будь-яким вектором. Вважається, що нульовий вектор одночасно паралельний і перпендикулярний будь-якому вектору.

Колінеарними називаються вектори, які зображаються відрізками, що лежать на одній прямій чи на паралельних прямих.

Два вектора називаються рівними, якщо вони однієї довжини і їх напрямки збігаються.

Одиничний вектор (орт) — вектор, довжина якого рівна одиниці.

Вектори на площині

Числа

\[a_x=x_2-x_1, a_y=y_2-y_1\]

називаються координатами вектора \(\vec{a}\) з початком \(A(x_1; y_1)\) і кінцем \(B(x_2; y_2)\).

Примітка 1. Всі координати нульового вектора дорівнюють нулю.
Примітка 2. Вектори рівні, коли їх відповідні координати рівні.

Вектор з координатами \(a_x\) і \(a_y\) позначається

\[\vec{\big(a_x; a_y\big)}.\]

Вектор \(a\) з координатами \(a_x\) і \(a_y\) позначається

\[\vec{a}\big(a_x; a_y\big).\]

Використовуючи означення координат вектора довжину можна записати формулою

\[|\vec{a}|=\sqrt{a_{x}^2+a_{y}^2}.\]

Дії над векторами на площині

Сумою векторів \(\vec{a}\big(a_x; a_y\big)\) і \(\vec{b}\big(b_x; b_y\big)\) називають вектор

\[\vec{c}\big(a_x+b_x; a_y+b_y\big).\]

Геометрично суму двох векторів можна знайти за:

  • правилом трикутника;
  • правилом паралелограма.

Правило трикутника

Для складання двох векторів \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\) за правилом трикутника обидва ці вектора переносяться паралельно самим собі так, щоб початок одного з них збігався з кінцем іншого. Тоді вектор суми задається третьою стороною трикутника, що утворився, причому його початок збігається з початком першого вектора.

Рис.4. Правило трикутника.
Рис. 4. Правило трикутника.

Правило паралелограма

Для складання двох векторів \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\) за правилом паралелограма обидва ці вектора переносяться паралельно самим собі так, щоб їх початки збігалися. Тоді вектор суми задається діагоналлю побудованого на них паралелограма, яка виходить з їх спільного початку.

Рис.5. Правило паралелограма.
Рис. 5. Правило паралелограма.

Різницею векторів \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\) називають такий вектор \(\vec{c}\), який в сумі з \(\vec{b}\) дає \(\vec{a}\).

Рис.6. Різниця векторів.
Рис. 6. Різниця векторів.

Добуток вектора

\[\vec{\big(a_x; a_y\big)}.\]

на число \(\lambda\) називається вектор

\[\vec{\big(\lambda a_x; \lambda a_y\big)}.\]

Два вектори \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\) колінеарні тоді і лише тоді, коли їх відповідні координати пропорційні

\[\frac{a_x}{b_x}=\frac{a_y}{b_y}.\]

Скалярним добутком векторів \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\) називається число, яке рівне сумі добутків відповідних координат, тобто

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y.\]

Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними, тобто

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos{\big(\hat{\vec{a} ;\vec{b}}\big)}.\]

де \(\big(\hat{\vec{a} ;\vec{b}}\big)\) — кут між векторами \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\).