Многокутник, багатокутник

Многокутник — фігура, утворена на площині замкнутою ламаною лінією. Говорять також, що многокутник — частина площини, обмежена замкненою ламаною лінією.

Ланки ламаної називаються сторонами многокутника. Точки, в яких сходяться дві сусідні ланки, називаються вершинами многокутника.

Кути, внутрішня область яких належить многокутнику і які складені двома сусідніми сторонами, називаються внутрішніми кутами многокутника. Кути, суміжні з внутрішніми кутами многокутника, називаються його зовнішніми кутами, тобто зовнішній кут — це кут, утворений стороною многокутника, і продовженням сусідньої сторони.

Кожному внутрішньому кутові можна поставити у відповідність лише один зовнішній кут многокутника.

Сума довжин всіх сторін многокутника називається його периметром і позначається буквою \(P\) або \(2p\) , де \(p\) — півсума всіх його сторін (півпериметр).

Многокутник називається опуклим, якщо він розміщений по одну сторону від будь-якої своєї сторони, необмежено продовженої.

Простим многокутником називається такий многокутник, контур якого не має самоперетинів.

Якщо сторони многокутника мають самоперетини, він називається непростим (зірчастим). Сума внутрішніх кутів будь-якого простого многокутника дорівнює \(\pi (n-2)\) радіанів, тобто \(2d (n - 2)\).

Сума зовнішніх кутів опуклого многокутника дорівнює \(2 \pi\) радіанів, тобто \(4d\).

Два многокутники називаються рівними, якщо їх можна сумістити накладанням.

Залежно від числа кутів (сторін) многокутник називається трикутником, чотирикутником тощо.

Многокутник називається правильним, якщо всі його сторони і всі кути рівні між собою.

Многокутник часто називають також \(n\)-кутником, де \(n\) — число сторін (вершин, кутів). Очевидно, що \(n \geq 3\).

Кожний кут правильного многокутника дорівнює \(\large\frac{n - 2}{n} \pi\) радіанів.

Діагоналями многокутника називаються відрізки, що з’єднують дві вершини многокутника, які не належать одній його стороні.

Для будь-якого \(n\)-кутника число \(N\) його діагоналей визначається за формулою:

\[N = \frac{n(n-3)}{2}\]

Навколо правильного многокутника можна описати коло. В нього також можна вписати коло. Центри вписаного і описаного кіл збігаються.

Правильний многокутник
Рис. 1. Правильний многокутник

Площа правильного многокутника дорівнює половині добутку його периметра на радіус вписаного кола

\[S = \frac{1}{2} n a_n r\]

Площа правильного многокутника

\[S = \frac{1}{2} n a_n r\]
\(n\) \(=\)
\(a_n\) \(=\)
\(r\) \(=\)
\(S\) \(=\)

Сторона правильного трикутника дорівнює

\[a_3 = R \sqrt{3}\]

Сторона правильного чотирикутника дорівнює

\[a_4 = R \sqrt{2}\]

Сторона правильного 6-кутника дорівнює

\[a_6 = R\]

Побудова багатокутників (Flash).