Многогранник

Основні означення

Многогранник — це геометричне тіло, поверхня якого складається із скінченого числа плоских многокутників.

Гранями многогранника називаються частини площин (многокутники), які обмежують многогранник.

Ребрами многогранника називаються спільні сторони суміжних граней (многокутників).

Вершинами многогранника називаються вершини многогранних кутів, утворених його гранями, що сходяться в одній точці.

Діагоналлю многогранника називається відрізок прямої, яка сполучає дві вершини многогранника, що не лежать в одній грані.

Діагональною площиною многогранника називається площина, що проходить через три вершини многогранника, які не лежать в одній грані.

Перерізом многогранника площиною називається частина цієї площини, яка обмежена лінією перетину поверхні многогранника з цією площиною.

Многогранник називається опуклим, якщо він цілком лежить по одну сторону від площини будь-якої його грані. Гранями опуклого многогранника можуть бути тільки опуклі многокутники.

Призма

Призма
Рис. 1. Призма

Висота — відрізок, що міститься між її основами і перпендикулярний до них.

Пряма призма — бічні ребра перпендикулярні до основ.

Площа бічної поверхні довільної призми дорівнює добутку периметра перпендикулярного перерізу на бічне ребро:

\[S_{біч} = P_{пер}l\]

Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту призми:

\[S_{біч} = Pl\]

Об'єм довільної призми дорівнює добутку площі її основи на висоту:

\[V = SH\]

Паралелепіпед

Паралелепіпед — призма, основи якої — паралелограми. У паралелепіпеді протилежні грані паралельні і рівні; всі чотири діагоналі перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл.

У прямокутному паралелепіпеді квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Площа бічної поверхні прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку периметра основи на висоту:

\[S_{біч} = PH\]

Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його вимірів:

\[V = abc\]

Куб

Куб — прямокутний паралелепіпед, усі ребра якого рівні.

Об'єм куба дорівнює:

\[V = a^3\]

Діагональ куба можна знайти за формулою:

\[d = a \sqrt{3}\]

Простий 3D Куб (Flash).

Піраміда

Піраміда
Рис. 2. Піраміда

Якщо в основі піраміди лежить трикутник, вона називається тетраедром. Висота — перпендикуляр, проведений з вершини до площини основи.

Правильна піраміда — в основі лежить правильний многокутник і основа висоти збігається з його центром. Апофема — висота бічної грані правильної піраміди.

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює одній другій добутку периметра основи на апофему:

\[S_{біч} = \frac{1}{2} P l\]

Площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди дорівнює добутку півсуми периметрів обох основ на апофему:

\[S_{біч} = \frac{1}{2} (P_1+P_2) l\]

Об'єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі її основи на висоту:

\[V = \frac{1}{3} S_{осн} H\]

Об'єм довільної зрізаної піраміди дорівнює:

\[V = \frac{1}{3} h \biggl(S_1+S_2+\sqrt{S_1 S_2}\biggr)\]