ГоловнаАлгебраПослідовності

Послідовності

Поняття числової послідовності

Нехай кожному натуральному числу \(n\) відповідає по деякому правилу число \(a_n\). Кажуть, що задана числова послідовність

\[a_1, a_2, ..., a_n, ...\]

Числа \(a_1, a_2, ...\) називаються членами послідовності; \(a_n\) – \(n\)-й або загальний член послідовності. Саму послідовність позначають так: \((a_n)\).

Таким чином, числовою послідовністю \((a_n)\) (або, коротше, послідовністю) називається функція, задана на множині натуральних чисел.

Наприклад, якщо відомо, що

\[a_n = n^2\]

при будь-якому \(n\), то \(a_1=1, a_2=4, a_3=9\) і т.д.

Деякі способи задання послідовності

1) Аналітичний спосіб задання послідовності. Задати послідовність аналітично – це означає вказати формулу, яка дозволяє по номеру члена послідовності однозначно визначити цей член. Формула, яка дозволяє обчислити будь-який член послідовності по його номері, називається формулою загального члена числової послідовності.

Наприклад, формула загального члена

\[a_n = \frac {(-1)^{n-1}}{n},\]

задає наступну числову послідовність

\[1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{5},...\]

2) Інколи послідовність задається рекурентною формулою, яка дозволяє знаходити члени послідовності по відомим попереднім членам. Наприклад, розглянемо послідовність \((a_n)\), перший член якої рівний 1, другий 2, а кожний член, починаючи з третього, рівний сумі двох попередніх членів:

\[a_{1}=1, a_{2}=2, a_{n+2} = a_{n} + a_{n+1}.\]

Тоді

\[a_{3}=1+2=3,\]
\[a_{4}=2+3=5,\]
\[a_{5} = 3 + 5 = 8\]

і т.д. Значить, послідовність \((a_n)\) задана.

3) Послідовність може бути також задана описом способу отримання її членів. Так, наприклад, говорять, що послідовність

\[3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; ...\]

Утворена із приблизних значень числа \(\pi\) з недостачею з точністю до

\[0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; ...\]

і т.д. В подібних випадках, як правило, не можна вказати ні формули загального члена послідовності, ні рекурентного способу обчислення її членів.

Монотонні послідовності

Послідовність \((a_n)\) називається зростаючою, якщо кожен її член, починаючи з другого, більший за попередній, тобто якщо для будь-якого натурального \(n\) виконується нерівність

\[a_{n+1} > a_{n}.\]

Послідовність \((a_n)\) називається спадною, якщо кожен її член, починаючи з другого, менший за попередній, тобто якщо для будь-якого натурального \(n\) виконується нерівність

\[a_{n+1} < a_{n}.\]

Послідовність \((a_n)\) називається неспадною, якщо кожен її член, починаючи з другого, не менший за попередній, тобто якщо для будь-якого натурального \(n\) виконується нерівність

\[a_{n+1} \geq a_{n}.\]

Послідовність \((a_n)\) називається незростаючою, якщо кожен її член, починаючи з другого, не більший за попередній, тобто якщо для будь-якого натурального \(n\) виконується нерівність

\[a_{n+1} \leq a_{n}.\]

Зростаючі, спадні, неспадні та незростаючі послідовності називаються монотонними послідовностями.

Зростаючі та спадаючі послідовності називають строго монотонними.

Нижня та верхня межа

Послідовність \((a_n)\) називається обмеженою знизу, якщо існує таке число \(A\), що для кожного члена послідовності справджується нерівність \(a_n > A\). Число \(A\) називається нижньою межею послідовності \((a_n)\).

Послідовність \((a_n)\) називається обмеженою зверху, якщо існує таке число \(B\), що для кожного члена послідовності справджується нерівність \(a_n < B\). Число \(B\) називається верхньою межею послідовності \((a_n)\).

Границя послідовності

Число \(a\) називається границею послідовності \((a_n)\) і записують

\[\lim_{n \to \infty}{a_n}=a\]

якщо для будь-якого додатного числа \(\varepsilon\) знайдеться номер \(N(\varepsilon)\) члена послідовності, починаючи з якого буде виконуватися нерівність

\[|a_n-a| < \varepsilon ~~~ (1)\]
Примітка. \(\lim\) — це скорочення латинського слова «limes», яке означає «границя».

Числову послідовність називають збіжною, якщо вона має границю. Послідовність, яка не має границі, називають розбіжною.

Нерівність (1) також може бути записана у вигляді:

\[a - \varepsilon < a_n < a + \varepsilon.\]

Інтервал \((a - \varepsilon; a + \varepsilon)\) називають околом точки \(a\).

Геометричний зміст границі послідовності

Якщо \(a\) — границя послідовності \((a_n)\), то який би окіл точки \(a\) ми не вибрали, члени послідовності, починаючи з деякого номера \(N\), будуть зображуватись точками, які лежать в цьому околі:

Геометричний зміст границі послідовності

Основні властивості границь

Якщо послідовності \((a_n)\) і \((b_n)\) мають границі, то:

\[\lim_{n \to \infty}{(a_n \pm b_n)} = \lim_{n \to \infty}{a_n} \pm \lim_{n \to \infty}{b_n}\]
\[\lim_{n \to \infty}{(a_n \cdot b_n)} = \lim_{n \to \infty}{a_n} \cdot \lim_{n \to \infty}{b_n}\]
\[\lim_{n \to \infty}{ \frac{a_n}{b_n}} = \frac {\lim\limits_{n \to \infty}{a_n} }{ \lim\limits_{n \to \infty}{b_n} }\]
\[\lim_{n \to \infty}{(c \cdot a_n)} = c \cdot \lim_{n \to \infty}{a_n}, ~~c - константа\]

Джерела

  • Справочник по математике для средних учебных заведений. А.Г. Цыпкин. Москва «Наука», 1983.
  • Математика для подготовительных курсов техникумов. Г.И. Богатырев, О.А. Боковнев. Москва «Наука», 1988.

Популярні статті