Послідовності

Щоб завантажити файл , виберіть один із сервісів

Для того, щоб файли були завжди доступні, вони збережені на різних сервісах. Звідти ви можете завантажити їх абсолютно безкоштовно. Якщо вам не вдалось цього зробити, то напишіть нам.

Поняття числової послідовності

Нехай кожному натуральному числу \(n\) відповідає по деякому правилу число \(a_n\). Кажуть, що задана числова послідовність

\[a_1, a_2, ..., a_n, ...\]

Числа \(a_1, a_2, ...\) називаються членами послідовності; \(a_n\) – \(n\)-й або загальний член послідовності. Саму послідовність позначають так: \((a_n)\).

Таким чином, числовою послідовністю \((a_n)\) (або, коротше, послідовністю) називається функція, задана на множині натуральних чисел.

Наприклад, якщо відомо, що

\[a_n = n^2\]

при будь-якому \(n\), то \(a_1=1, a_2=4, a_3=9\) і т.д.

Деякі способи задання послідовності

1) Аналітичний спосіб задання послідовності. Задати послідовність аналітично – це означає вказати формулу, яка дозволяє по номеру члена послідовності однозначно визначити цей член. Формула, яка дозволяє обчислити будь-який член послідовності по його номері, називається формулою загального члена числової послідовності.

Наприклад, формула загального члена

\[a_n = \frac {(-1)^{n-1}}{n},\]

задає наступну числову послідовність

\[1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{5},...\]

2) Інколи послідовність задається рекурентною формулою, яка дозволяє знаходити члени послідовності по відомим попереднім членам. Наприклад, розглянемо послідовність \((a_n)\), перший член якої рівний 1, другий 2, а кожний член, починаючи з третього, рівний сумі двох попередніх членів:

\[a_{1}=1, a_{2}=2, a_{n+2} = a_{n} + a_{n+1}.\]

Тоді

\[a_{3}=1+2=3,\]
\[a_{4}=2+3=5,\]
\[a_{5} = 3 + 5 = 8\]

і т.д. Значить, послідовність \((a_n)\) задана.

3) Послідовність може бути також задана описом способу отримання її членів. Так, наприклад, говорять, що послідовність

\[3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; ...\]

Утворена із приблизних значень числа \(\pi\) з недостачею з точністю до

\[0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; ...\]

і т.д. В подібних випадках, як правило, не можна вказати ні формули загального члена послідовності, ні рекурентного способу обчислення її членів.

Монотонні послідовності

Послідовність \((a_n)\) називається зростаючою, якщо кожен її член, починаючи з другого, більший за попередній, тобто якщо для будь-якого натурального \(n\) виконується нерівність

\[a_{n+1} > a_{n}.\]

Послідовність \((a_n)\) називається спадною, якщо кожен її член, починаючи з другого, менший за попередній, тобто якщо для будь-якого натурального \(n\) виконується нерівність

\[a_{n+1} < a_{n}.\]

Послідовність \((a_n)\) називається неспадною, якщо кожен її член, починаючи з другого, не менший за попередній, тобто якщо для будь-якого натурального \(n\) виконується нерівність

\[a_{n+1} \geq a_{n}.\]

Послідовність \((a_n)\) називається незростаючою, якщо кожен її член, починаючи з другого, не більший за попередній, тобто якщо для будь-якого натурального \(n\) виконується нерівність

\[a_{n+1} \leq a_{n}.\]

Зростаючі, спадні, неспадні та незростаючі послідовності називаються монотонними послідовностями.

Зростаючі та спадаючі послідовності називають строго монотонними.

Нижня та верхня межа

Послідовність \((a_n)\) називається обмеженою знизу, якщо існує таке число \(A\), що для кожного члена послідовності справджується нерівність \(a_n > A\). Число \(A\) називається нижньою межею послідовності \((a_n)\).

Послідовність \((a_n)\) називається обмеженою зверху, якщо існує таке число \(B\), що для кожного члена послідовності справджується нерівність \(a_n < B\). Число \(B\) називається верхньою межею послідовності \((a_n)\).

Границя послідовності

Число \(a\) називається границею послідовності \((a_n)\) і записують

\[\lim_{n \to \infty}{a_n}=a\]

якщо для будь-якого додатного числа \(\varepsilon\) знайдеться номер \(N(\varepsilon)\) члена послідовності, починаючи з якого буде виконуватися нерівність

\[|a_n-a| < \varepsilon ~~~ (1)\]
Примітка. \(\lim\) — це скорочення латинського слова «limes», яке означає «границя».

Числову послідовність називають збіжною, якщо вона має границю. Послідовність, яка не має границі, називають розбіжною.

Нерівність (1) також може бути записана у вигляді:

\[a - \varepsilon < a_n < a + \varepsilon.\]

Інтервал \((a - \varepsilon; a + \varepsilon)\) називають околом точки \(a\).

Геометричний зміст границі послідовності

Якщо \(a\) — границя послідовності \((a_n)\), то який би окіл точки \(a\) ми не вибрали, члени послідовності, починаючи з деякого номера \(N\), будуть зображуватись точками, які лежать в цьому околі:

Геометричний зміст границі послідовності

Основні властивості границь

Якщо послідовності \((a_n)\) і \((b_n)\) мають границі, то:

\[\lim_{n \to \infty}{(a_n \pm b_n)} = \lim_{n \to \infty}{a_n} \pm \lim_{n \to \infty}{b_n}\]
\[\lim_{n \to \infty}{(a_n \cdot b_n)} = \lim_{n \to \infty}{a_n} \cdot \lim_{n \to \infty}{b_n}\]
\[\lim_{n \to \infty}{ \frac{a_n}{b_n}} = \frac {\lim\limits_{n \to \infty}{a_n} }{ \lim\limits_{n \to \infty}{b_n} }\]
\[\lim_{n \to \infty}{(c \cdot a_n)} = c \cdot \lim_{n \to \infty}{a_n}, ~~c - константа\]

Джерела

  • Справочник по математике для средних учебных заведений. А.Г. Цыпкин. Москва «Наука», 1983.
  • Математика для подготовительных курсов техникумов. Г.И. Богатырев, О.А. Боковнев. Москва «Наука», 1988.