Границя функції

Щоб завантажити файл , виберіть один із сервісів

Для того, щоб файли були завжди доступні, вони збережені на різних сервісах. Звідти ви можете завантажити їх абсолютно безкоштовно. Якщо вам не вдалось цього зробити, то напишіть нам.

Поняття границі функції

Нехай функція \(f(x)\) визначена у всіх точках проміжку \((a; b)\), за винятком, можливо, деякої точки \(x_0 \in (a; b)\). Побудуємо послідовність значень аргументу функції \(f(x)\):

\[x_1, x_2, ..., x_n, ..., n \in \mathbb{N}, (x_n \not= x_0) ~ (1)\]

таку, щоб всі члени послідовності належали проміжку \((a; b)\) і послідовність збігалась до точки \(x_0\):

\[\lim_{n \to \infty}{x_n} = x_0.\]

Тоді значення функції \(f(x)\)

\[f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n), ... ~ (2)\]

також утворять деяку числову послідовність.

Говорять, що число \(A\) є границею функції \(f(x)\) при \(x\), що прямує до \(x_0\), якщо для будь-якої послідовності значень аргументу (1), яка збігається до числа \(x_0\), послідовність значень функції (2) збігається до числа \(A\), і пишуть

\[\lim_{x \to x_0}{f(x)} = A.\]
Примітка. Це визначення границі функції називається визначенням границі по Гейне.

Існує й інше, еквівалентне тому, що вище, визначення границі функції.

Говорять, що число \(A\) є границею функції \(f(x)\) при \(x\), що прямує до \(x_0\), якщо для будь-якого додатнього числа \(\varepsilon\) знайдеться таке додатне число \(\delta\), яке залежить від \(\varepsilon\), що при всіх \(x \in (a; b)\), які задовільняють нерівність

\[0 < |x - x_0| < \delta,\]

виконується нерівність

\[|f(x) - A|< \varepsilon.\]
Примітка. Це визначення границі функції називається визначенням границі по Коші.

Узагальнення на випадок нескінченості

Сформовані вище означення границі функції по Гейне і по Коші можуть бути узагальнені і на випадок, коли замість числа \(x_0\) береться \(+\infty\) (або \(-\infty\)).

Говорять, що число \(A\) є границею функції \(f(x)\) при \(x\), що прямує до \(+\infty\), якщо для будь-якого додатнього числа \(\varepsilon\) знайдеться таке додатне число \(\Delta\), що для всіх \(x\), які задовільняють нерівність \(x > \Delta\), виконується нерівність

\[|f(x) - A| < \varepsilon;\]

в цьому випадку пишуть

\[\lim_{x \to +\infty}{f(x)} = A.\]

Говорять, що функція \(f(x)\) прямує до \(+\infty\) при прямуванні \(x\) до \(x_0\), якщо для будь-якого скільки завгодно великого додатнього числа \(E\) знайдеться таке додатне число \(\delta > 0\), що для всіх \(x\), які задовільняють нерівність

\[0 < |x - x_0| < \delta,\]

і таких, що належать області визначення функції, виконується нерівність

\[f(x) > E;\]

в цьому випадку пишуть

\[f(x) \rightarrow +\infty ~ при ~ x \rightarrow x_0, ~ або\]
\[\lim_{x \to x_0}{f(x)} = +\infty.\]

Односторонні границі. Ліва та права границя функції

Нехай функція \(f(x)\) визначена на проміжку \((a; x_0)\). Число \(A\) називають лівою границею функції \(f(x)\) в точці \(x_0\) і пишуть

\[\lim_{x \to {x_0-0}}{f(x)} = A,\]

якщо для будь-якого числа \(\varepsilon > 0\) знайдеться додатнє число \(\delta\), яке залежить від \(\varepsilon\), таке, що для всіх \(x \in (a; x_0)\), які задовільняють нерівність \(x_0 - x < \delta\), виконується нерівність

\[|f(x) - A| < \varepsilon.\]

Аналогічно визначається права границя функції \(f(x)\). Для позначення правої границі функції \(f(x)\) в точці \(x_0\) використовується позначення

\[\lim_{x \to {x_0+0}}{f(x)} .\]

Ліва і права границі функції називаються односторонніми границями.

Якщо функція \(f(x)\) визначена на проміжку \((a; b)\), за винятком, можливо, точки \(x_0 \in (a; b)\), то для існування границі

\[\lim_{x \to {x_0}}{f(x)} = A\]

необхідно і достатньо, щоб права і ліва границі функції \(f(x)\) в точці \(x_0\) існували і були рівні:

\[\lim_{x \to {x_0+0}}{f(x)} = \lim_{x \to {x_0-0}}{f(x)} = A.\]

Теореми про границі функцій. Властивості границь

1) Якщо функції \(f(x)\) і \(g(x)\) мають границі при \(x\), який прямує до \(a\), то функції \(f(x) \pm g(x)\), \(f(x) \times g(x)\), \(\large \frac{f(x)} {g(x)}\) також мають границі при \(x\), який прямує до \(a\) і

\[\lim_{x \to a}{ \Big( (f(x) \pm g(x) \Big) } = \lim_{x \to a}{f(x)} \pm \lim_{x \to a}{g(x)} ,\]
\[\lim_{x \to a}{ \Big( (f(x) \times g(x) \Big) } = \lim_{x \to a}{f(x)} \times \lim_{x \to a}{g(x)} ,\]
\[\lim_{x \to a}{ \frac{f(x)}{g(x)} } = \frac{\lim\limits_{x \to a}{f(x)} }{ \lim\limits_{x \to a}{g(x)} }.\]

В останньому випадку припускається, що функція \(g(x)\) не перетворюється в нуль в досить малому околі точки \(a\) і

\[\lim_{x \to a}{g(x) \ne 0}.\]

2) Якщо при \(x\), що прямує до \(a\), функція \(f(x)\) має границю, рівну \(A\), і ця границя більше числа \(c\), то для достятньо близьких до \(a\) значень \(x\) функція \(f(x)\) задовільняє нерівність \(f(x)>c\).

Деякі важливі границі

В теорії границь важливе місце займають перераховані нижче границі (з їх допомогою обчислюється багато границь від елементарних функцій):

\[\lim_{x \to 0}{ \frac{sin(x)} {x} } = 1,\]
\[\lim_{x \to 0}{(1+x)^{\large\frac{1}{x}} } = e,\]
\[\lim_{x \to 0}{\frac{a^x-1}{x}} = \ln {a}, ~ \lim_{x \to 0}{\frac{e^x-1} {x}} = 1,\]
\[\lim_{x \to 0}{ \frac{\log_{a}(1+x)} {x} } = \log_{a}e, ~ \lim_{x \to 0}{ \frac{\ln(1+x)} {x} } = 1.\]

Джерело

  • А. Г. Цыпкин. Справочник по математике для средних учебных заведений. Москва «Наука», 1983.