ГоловнаАлгебраГраниця функції

Границя функції

Поняття границі функції

Нехай функція \(f(x)\) визначена у всіх точках проміжку \((a; b)\), за винятком, можливо, деякої точки \(x_0 \in (a; b)\). Побудуємо послідовність значень аргументу функції \(f(x)\):

\[x_1, x_2, ..., x_n, ..., n \in \mathbb{N}, (x_n \not= x_0) ~ (1)\]

таку, щоб всі члени послідовності належали проміжку \((a; b)\) і послідовність збігалась до точки \(x_0\):

\[\lim_{n \to \infty}{x_n} = x_0.\]

Тоді значення функції \(f(x)\)

\[f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n), ... ~ (2)\]

також утворять деяку числову послідовність.

Говорять, що число \(A\) є границею функції \(f(x)\) при \(x\), що прямує до \(x_0\), якщо для будь-якої послідовності значень аргументу (1), яка збігається до числа \(x_0\), послідовність значень функції (2) збігається до числа \(A\), і пишуть

\[\lim_{x \to x_0}{f(x)} = A.\]
Примітка. Це визначення границі функції називається визначенням границі по Гейне.

Існує й інше, еквівалентне тому, що вище, визначення границі функції.

Говорять, що число \(A\) є границею функції \(f(x)\) при \(x\), що прямує до \(x_0\), якщо для будь-якого додатнього числа \(\varepsilon\) знайдеться таке додатне число \(\delta\), яке залежить від \(\varepsilon\), що при всіх \(x \in (a; b)\), які задовільняють нерівність

\[0 < |x - x_0| < \delta,\]

виконується нерівність

\[|f(x) - A|< \varepsilon.\]
Примітка. Це визначення границі функції називається визначенням границі по Коші.

Узагальнення на випадок нескінченості

Сформовані вище означення границі функції по Гейне і по Коші можуть бути узагальнені і на випадок, коли замість числа \(x_0\) береться \(+\infty\) (або \(-\infty\)).

Говорять, що число \(A\) є границею функції \(f(x)\) при \(x\), що прямує до \(+\infty\), якщо для будь-якого додатнього числа \(\varepsilon\) знайдеться таке додатне число \(\Delta\), що для всіх \(x\), які задовільняють нерівність \(x > \Delta\), виконується нерівність

\[|f(x) - A| < \varepsilon;\]

в цьому випадку пишуть

\[\lim_{x \to +\infty}{f(x)} = A.\]

Говорять, що функція \(f(x)\) прямує до \(+\infty\) при прямуванні \(x\) до \(x_0\), якщо для будь-якого скільки завгодно великого додатнього числа \(E\) знайдеться таке додатне число \(\delta > 0\), що для всіх \(x\), які задовільняють нерівність

\[0 < |x - x_0| < \delta,\]

і таких, що належать області визначення функції, виконується нерівність

\[f(x) > E;\]

в цьому випадку пишуть

\[f(x) \rightarrow +\infty ~ при ~ x \rightarrow x_0, ~ або\]
\[\lim_{x \to x_0}{f(x)} = +\infty.\]

Односторонні границі. Ліва та права границя функції

Нехай функція \(f(x)\) визначена на проміжку \((a; x_0)\). Число \(A\) називають лівою границею функції \(f(x)\) в точці \(x_0\) і пишуть

\[\lim_{x \to {x_0-0}}{f(x)} = A,\]

якщо для будь-якого числа \(\varepsilon > 0\) знайдеться додатнє число \(\delta\), яке залежить від \(\varepsilon\), таке, що для всіх \(x \in (a; x_0)\), які задовільняють нерівність \(x_0 - x < \delta\), виконується нерівність

\[|f(x) - A| < \varepsilon.\]

Аналогічно визначається права границя функції \(f(x)\). Для позначення правої границі функції \(f(x)\) в точці \(x_0\) використовується позначення

\[\lim_{x \to {x_0+0}}{f(x)} .\]

Ліва і права границі функції називаються односторонніми границями.

Якщо функція \(f(x)\) визначена на проміжку \((a; b)\), за винятком, можливо, точки \(x_0 \in (a; b)\), то для існування границі

\[\lim_{x \to {x_0}}{f(x)} = A\]

необхідно і достатньо, щоб права і ліва границі функції \(f(x)\) в точці \(x_0\) існували і були рівні:

\[\lim_{x \to {x_0+0}}{f(x)} = \lim_{x \to {x_0-0}}{f(x)} = A.\]

Теореми про границі функцій. Властивості границь

1) Якщо функції \(f(x)\) і \(g(x)\) мають границі при \(x\), який прямує до \(a\), то функції \(f(x) \pm g(x)\), \(f(x) \times g(x)\), \(\large \frac{f(x)} {g(x)}\) також мають границі при \(x\), який прямує до \(a\) і

\[\lim_{x \to a}{ \Big( (f(x) \pm g(x) \Big) } = \lim_{x \to a}{f(x)} \pm \lim_{x \to a}{g(x)} ,\]
\[\lim_{x \to a}{ \Big( (f(x) \times g(x) \Big) } = \lim_{x \to a}{f(x)} \times \lim_{x \to a}{g(x)} ,\]
\[\lim_{x \to a}{ \frac{f(x)}{g(x)} } = \frac{\lim\limits_{x \to a}{f(x)} }{ \lim\limits_{x \to a}{g(x)} }.\]

В останньому випадку припускається, що функція \(g(x)\) не перетворюється в нуль в досить малому околі точки \(a\) і

\[\lim_{x \to a}{g(x) \ne 0}.\]

2) Якщо при \(x\), що прямує до \(a\), функція \(f(x)\) має границю, рівну \(A\), і ця границя більше числа \(c\), то для достятньо близьких до \(a\) значень \(x\) функція \(f(x)\) задовільняє нерівність \(f(x)>c\).

Деякі важливі границі

В теорії границь важливе місце займають перераховані нижче границі (з їх допомогою обчислюється багато границь від елементарних функцій):

\[\lim_{x \to 0}{ \frac{sin(x)} {x} } = 1,\]
\[\lim_{x \to 0}{(1+x)^{\large\frac{1}{x}} } = e,\]
\[\lim_{x \to 0}{\frac{a^x-1}{x}} = \ln {a}, ~ \lim_{x \to 0}{\frac{e^x-1} {x}} = 1,\]
\[\lim_{x \to 0}{ \frac{\log_{a}(1+x)} {x} } = \log_{a}e, ~ \lim_{x \to 0}{ \frac{\ln(1+x)} {x} } = 1.\]

Джерело

  • А. Г. Цыпкин. Справочник по математике для средних учебных заведений. Москва «Наука», 1983.

Популярні статті