Системи рівнянь

Щоб завантажити файл , виберіть один із сервісів

Для того, щоб файли були завжди доступні, вони збережені на різних сервісах. Звідти ви можете завантажити їх абсолютно безкоштовно. Якщо вам не вдалось цього зробити, то напишіть нам.

Система двох рівнянь першого степеня з двома невідомими

Способи розв'язання

1. Спосіб підстановки полягає в тому, що:

1) із одного рівняння ми знаходимо вираз одного з невідомих, наприклад \(x\), через відомі величини і інше невідоме \(y\);

2) знайдений вираз підставляємо в інше рівняння, в якому після цієї підстановки буде міститися тільки одна невідома \(y\);

3) розв'язуємо отримане рівняння і знаходимо значення \(y\);

4) підставляючи знайдене значення \(y\) у вираз невідомого \(x\), знайдений на початку розв'язку, отримуємо значення \(x\).

2. Спосіб додавання або віднімання полягає в тому, що:

1) обидві частини одного рівняння множаться на деякий множник; обидві частини іншого рівняння множаться на інший множник; ці множники підбираються так, щоб коефіцієнти при одному із невідомих в обидвох рівняннях після їх множення на ці множники мали одну і ту ж абсолютну величину;

2) додаємо два рівняння або віднімаємо їх один від одного, дивлячись на те, має рівняння коефіцієнти різні або однакові знаки; цим одне із невідомих виключається;

3) розв'язуємо отримане рівняння з одним невідомим;

4) інше невідоме можна знайти тим же чином, але легше підставити значення першого невідомого в будь-яке із даних рівняннь і розв'язати рівняння з одним невідомим.

Загальні формули і особливі випадки розв'язування системи

Розв'язати систему рівнянь виду

\[\begin{cases}ax + by = c \\ a_{1}x + b_{1}y = c_{1}\end{cases}\]

можна швидше, якщо застосовувати загальні формули. Останні можна отримати будь-яким способом, наприклад, способом додавання і віднімання. Розв'язок буде мати вигляд

\[x = \frac{b_{1}c-bc_{1}}{ab_{1}-a_{1}b}\]
\[y = \frac{ac_{1}-a_{1}c}{ab_{1}-a_{1}b}\]

При розв'язуванні системи рівнянь можуть виникнути три різних випадки.

  1. Коефіцієнти при невідомих непропорційні:

    \[\frac{a}{a_1} \ne \frac{b}{b_1}\]

    Тоді, якими б не були вільні члени, рівняння має єдиний розв'язок, який наведений вище.

  2. Коефіцієнти при невідомих пропорційні:

    \[\frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1}\]

    Тоді важливо знати, чи знаходяться в тому ж відношенні і вільні члени. Якщо знаходяться:

    \[\frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1}\]

    то система рівнянь має безліч розв'язків. Причина цього та, що в розглянутому випадку одне із рівнянь є наслідком іншого, так що фактично в нас одне рівняння, а не два.

  3. Коефіцієнти при невідомих пропорційні, але вільні члени не знаходяться в тому ж відношенні:

    \[\frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} \ne \frac{c}{c_1}\]

    Тоді система не має розв'язку, тому що рівняння один одному протирічять.

Розв'язування системи 2-х рівнянь 1-го степеня з 2-а невідомими

\(x+\) \(y =\)
\(x+\) \(y =\)

Система трьох рівнянь першого степеня з трьома невідомими

Розв'язання системи трьох рівнянь з трьома невідомими основується на тих же прийомах, що і розв'язування системи двох рівнянь з двома невідомими.

Розв'язування системи 3-х рівнянь 1-го степеня з 3-а невідомими

\(x+\) \(y +\) \(z =\)
\(x+\) \(y +\) \(z =\)
\(x+\) \(y +\) \(z =\)