Тригонометричні перетворення

Щоб завантажити файл , виберіть один із сервісів

Для того, щоб файли були завжди доступні, вони збережені на різних сервісах. Звідти ви можете завантажити їх абсолютно безкоштовно. Якщо вам не вдалось цього зробити, то напишіть нам.

Тригонометричні формули (або тригонометричні тотожності) — математичні вирази для тригонометричних функцій, які виконуються при всіх значеннях аргумента.

Тригонометричні формули широко використовуються як в математиці, так і в фізиці. В математиці — при розв'язуванні трикутників, інтегруванні, в теорії функцій комплексних змінних і т.д. В фізиці — при розв'язуванні задач, в яких векторні величини не лежать на одній прямій.

Співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу

Тут і далі запис \(k\in \mathbb{Z}\) означає, що \(k\) — будь-яке ціле число.

\[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\]
\[\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, ~\alpha \ne \frac{\pi (2k+1)}{2}, k\in \mathbb{Z}\]
\[\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}, ~\alpha \ne \pi k, k\in \mathbb{Z}\]
\[\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1, ~\alpha \ne \frac{\pi k}{2}, k\in \mathbb{Z}\]
\[1 + \operatorname{tg}^{2} \alpha = \frac{1}{\cos^{2} \alpha}, ~\alpha \ne \frac{\pi (2k+1)}{2}\]
\[1 + \operatorname{ctg}^{2} \alpha = \frac{1}{\sin^{2} \alpha}, ~\alpha \ne \pi k\]

Формули додавання

\[\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta\]
\[\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sin \beta\]
\[\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta - sin \alpha \cdot \sin \beta\]
\[\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta + sin \alpha \cdot \sin \beta\]
\[\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta} {1 - \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta}\]
\[\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta}, ~\alpha, ~\beta, ~\alpha - \beta \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k\in \mathbb{Z}\]

Формули подвійного аргументу

\[\sin 2\alpha = 2\sin\alpha \cdot \cos \alpha\]
\[\cos 2\alpha = \cos^{2} \alpha - sin^{2} \alpha = 2\cos^{2} \alpha - 1 = 1 - 2\sin^{2} \alpha\]
\[\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg} \alpha}{1-\operatorname{tg}^{2} \alpha }\]

Формули половинного аргументу

\[\sin^{2} \frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos \alpha}{2}\]
\[\cos^{2} \frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos \alpha}{2}\]
\[\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} = \frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}, ~\alpha \ne \pi + 2 \pi k, k\in \mathbb{Z}\]

Формули перетворення суми в добуток

\[\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\Big(\frac{\alpha + \beta}{2}\Big) \cdot \cos\Big(\frac{\alpha - \beta}{2}\Big)\]
\[\sin \alpha - \sin \beta = 2\cos\Big(\frac{\alpha + \beta}{2}\Big) \cdot \sin\Big(\frac{\alpha - \beta}{2}\Big)\]
\[\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\Big(\frac{\alpha + \beta}{2}\Big) \cdot \cos\Big(\frac{\alpha - \beta}{2}\Big)\]
\[\cos \alpha - \cos \beta = - 2\sin\Big(\frac{\alpha + \beta}{2}\Big) \cdot \sin\Big(\frac{\alpha - \beta}{2}\Big)\]
\[\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin( \alpha + \beta )}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}\]
\[\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}, ~\alpha, \beta \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k\in \mathbb{Z}\]

Формули перетворення добутку в суму

\[\sin \alpha \cdot \sin \beta = \frac{\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta )}{2}\]
\[\cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta )}{2}\]
\[\sin \alpha \cdot \cos \beta = \frac{\sin(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta )}{2}\]

Співвідношення між \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\) і \(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\)

\[\sin \alpha = \frac{ 2\operatorname{tg}\large\frac{\alpha}{2} }{ 1+\operatorname{tg}^{2}\large\frac{\alpha}{2} }, ~\alpha \ne (2k+1) \pi\]
\[\cos \alpha = \frac{ 1-\operatorname{tg}^{2}\large\frac{\alpha}{2} }{ 1+\operatorname{tg}^{2}\large\frac{\alpha}{2} }, ~\alpha \ne (2k+1) \pi\]

Додаткові формули

\[\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^{3}\alpha\]
\[\cos 3\alpha = 4\cos^{3}\alpha - 3\cos \alpha\]

Формули зведення

\(x\) \(\frac{\pi}{2} + \alpha\) \(\pi + \alpha\) \(\frac{3\pi}{2} + \alpha\) \(-\alpha\) \(\frac{\pi}{2} - \alpha\) \(\pi - \alpha\) \(\frac{3\pi}{2} - \alpha\)
\(\sin x\) \(\cos \alpha\) \(-\sin \alpha\) \(-\cos \alpha\) \(-\sin \alpha\) \(\cos \alpha\) \(\sin \alpha\) \(-\cos \alpha\)
\(\cos x\) \(-\sin \alpha\) \(-\cos \alpha\) \(\sin \alpha\) \(\cos \alpha\) \(\sin \alpha\) \(-\cos \alpha\) \(-\sin \alpha\)
\(\operatorname{tg}x\) \(-\operatorname{ctg} \alpha\) \(\operatorname{tg} \alpha\) \(-\operatorname{ctg} \alpha\) \(-\operatorname{tg} \alpha\) \(\operatorname{ctg} \alpha\) \(-\operatorname{tg} \alpha\) \(\operatorname{ctg} \alpha\)
\(\operatorname{ctg}x\) \(-\operatorname{tg} \alpha\) \(\operatorname{ctg} \alpha\) \(-\operatorname{tg} \alpha\) \(-\operatorname{ctg} \alpha\) \(\operatorname{tg} \alpha\) \(-\operatorname{ctg} \alpha\) \(\operatorname{tg} \alpha\)

Значення тригонометричних функцій деяких кутів

\(\alpha\) \(0 (0^{\circ})\) \(\frac{\pi}{6} (30^{\circ})\) \(\frac{\pi}{4} (45^{\circ})\) \(\frac{\pi}{3} (60^{\circ})\) \(\frac{\pi}{2} (90^{\circ})\)
\(\sin \alpha\) \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(1\)
\(\cos \alpha\) \(1\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{1}{2}\) \(0\)
\(\operatorname{tg} \alpha\) \(0\) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) \(1\) \(\sqrt{3}\) Не існує
\(\operatorname{ctg} \alpha\) Не існує \(\sqrt{3}\) \(1\) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) \(0\)
\(\alpha\) \(\pi (180^{\circ})\) \(\frac{3\pi}{2} (270^{\circ})\) \(2 \pi (360^{\circ})\)
\(\sin \alpha\) \(0\) \(-1\) \(0\)
\(\cos \alpha\) \(-1\) \(0\) \(1\)
\(\operatorname{tg} \alpha\) \(0\) Не існує \(0\)
\(\operatorname{ctg} \alpha\) Не існує \(0\) Не існує

Значення тригонометричної функції

\(\Big(\) \(\Big)\)

Значення тригонометричної функції будь-якого гострого кута

\(\Big(\) ° \(\Big)\)

Обчислення кута за тригонометричною функцією

=