Функції

Щоб завантажити файл , виберіть один із сервісів

Для того, щоб файли були завжди доступні, вони збережені на різних сервісах. Звідти ви можете завантажити їх абсолютно безкоштовно. Якщо вам не вдалось цього зробити, то напишіть нам.

Така залежність між змінними \(x\) та \(y\), в якій кожному значенню змінної \(x\) із деякої множини \(D\) відповідає єдине значення змінної \(y\), називається функціональною залежністю, або функцією.

Приклади

  1. Залежність між натуральними числами та їх квадратами називається функціональною залежністю.
  2. Якщо кожному натуральному числу поставити у відповідність число, йому протилежне, то одержимо функціональну відповідність.
  3. \(y = 2x - 3\), де \(x\) — аргумент, незалежна змінна; \(y\) — функція, залежна змінна (бо кожному значенню змінної \(x\) відповідає єдине значення змінної \(y\)).

Змінну \(x\) називають аргументом даної функції, чи незалежною змінною. Змінну \(y\) називають функцією від \(x\), чи залежною змінною.

Способи задання функції:

  1. Описанням, наприклад, кожному натуральному числу поставлено у відповідність його квадрат.
  2. Формулою, наприклад, \(s = v \cdot t, ~ y = 2x - 3\).
  3. Таблицею, наприклад,
    \(x\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)
    \(y\) \(-1\) \(1\) \(6\) \(5\) \(7\)
  4. Графіком.

Побудова таблиці значень

Дозволяє протабулювати функцію \(y(x)\) на проміжку від \(a\) до \(b\) з кроком \(k\). Як користуватись?
\(a=\)   \(b=\)   \(k=\)
\(y(x)=\)
Округлити до знаків після коми
Очистити

Область визначення функції — це множина всіх значень змінної \(x\), при яких функція має зміст.

З'ясуємо, як знайти область визначення деяких функцій, заданих формулою.

  1. Якщо функція — многочлен, то вона існує при будь-яких значеннях аргумента, тобто її область визначення — всі дійсні числа.
  2. Якщо функція задана формулою, яка містить аргумент у знаменнику дробу, то до області визначення функції входять всі дійсні числа, крім тих, які перетворюють знаменник в нуль.
  3. Якщо функція задана формулою, яка містить арифметичний квадратний корінь, то до області її визначення входять всі дійсні числа, при яких підкореневий вираз набуває невід'ємних значень.

Елементарні функції

1. Пряма пропорційність

Пряма пропорційність

\[y = k \cdot x,\]

\(k\) — число. Графік — пряма, що проходить через початок координат під кутом до осі абсцис

\[\operatorname{tg}{\alpha} = k.\]

2. Лінійна функція

Лінійна функція

\[y = k \cdot x + l,\]

\(k, ~ l\) — числа. Графік — пряма, що перетинає вісь абсцис у точці

\[\Big(-\frac{l}{k}; ~ 0\Big),\]

ординат — \((0; ~ l)\).

3. Обернена пропорційність

Обернена пропорційність

\[y = \frac{k}{x}\]

Графік — гіпербола.

4. Квадратична функція

Квадратична функція

\[y = ax^2+bx+c,\]

\(a ~(a \ne 0), ~ b, ~ c\) — числа.

Графік — парабола.

5. Степенева функція

Степенева функція

\[y = x^p.\]

Якщо \(p\) — натуральне і парне, то графік симетричний відносно осі \(OY\); натуральне і непарне — відносно початку координат; від'ємне і непарне — гіпербола в 1 і 3-й координатних чвертях; від'ємне і парне — гіпербола в 1 і 4-й координатних чвертях.

Побудова простих графіків функцій

Побудова простих графіків функцій (Flash).

Якщо вам потрібно побудувати декілька графіків на одній площині або ваш браузер не підтримує Flash, то скористайтесь цим сервісом.