Історично поняття логарифма розвинулось на основі порівняння арифметичної і геометричної прогресій. Ця ідея зустрічається ще в творі Архімеда «Псамміт» («Про число піщинок»). Вона могла бути зародком майбутньої ідеї логарифма, але пізніше була втрачена. Лише в епоху Відродження вона знову виникає і розвивається в сучасне поняття логарифма.
Усім учням 6-го класу відома таблиця множення на 9. Виявляється, що на неї дуже схожа таблиця множення числа, складеного з дев'яток:
9999 × 2 = 19 998
9999 × 3 = 29 997
9999 × 4 = 39 996
9999 × 5 = 49 995
Учням можна дати завдання продовжити цю таблицю дома, подумати, якою буде таблиця множення числа 999 999 на 2, 3, 4 і т. д.
У повсякденному житті нам здебільшого доводиться зустрічатися з порівняно невеликими числами, так що люди часто не мають правильного уявлення про співвідношення між великими числами і малими.
Щоб наша думка була зрозумілою, наведемо кілька прикладів, де ми маємо справу з надзвичайно великими числами, тобто числами-велетнями, і надзвичайно малими, тобто числами-карликами.
Відстань від Землі до Сонця в сантиметрах приблизно дорівнює 1,5 · 1013, а відстань до Плутона — найбільш віддаленої від Сонця планети — дорівнює 6 · 1014 см.
Натуральні числа, крім основної функції — характеристики кількості предметів, мають ще й іншу функцію — характеристику порядку предметів, розміщених у ряд.
Поняття порядкового числа (перший, другий, і т. д.), яке виникає у зв’язку з цією функцією, тісно переплітається з поняттям кількісного числа (один, два і т. д.). Зокрема, розміщення в ряд деяких предметів і наступне їх перелічування із застосуванням порядкових чисел — спосіб лічби, який застосовувався з давніх-давен (наприклад, якщо останній з перелічуваних предметів буде сьомий, то це й означає, що є сім предметів).
Коли дитина вперше знайомиться з натуральним числами і починає лічити, вона ще не розуміє, що цих чисел безліч. На початковій стадії розвитку математичних понять діти дуже часто запитують, яке число найбільше? Приблизно те саме спостерігалося під час розвитку лічби наших далеких предків.
Натуральний ряд чисел люди довго не уявляли нескінченним, хоч різні народи вже мали назви для дуже великих чисел. Пізніше, коли числовий запас був уже досить великий, деякі вчені подовжували натуральний ряд, виходячи за межі практичних потреб, і наближались до поняття нескінченності. Так, за три століття до н.е. у стародавній Індії вже вільно оперували числами будь якої величини.
Щоб поліпшити методи лічби, раціоналізувати їх, деякі народи почали кілька разів підряд лічити пальці однієї чи двох рук або двох рук і ніг. Легше також лічити зарубки (вузлики, палички, камінці), якщо їх об'єднати в однакові групи, наприклад, по 5, 10, 20 (метод групування). Саме в цьому напрямі в основному розвивалися натуральні числа, що й привело до створення десяткової, п'ятіркової, двадцяткової та інших систем числення.
У наукових і технічних дослідженнях, а також на виробництві досить часто доводиться зустрічатися з дослідами, що повторюються при однакових умовах. Виявляється, що хоч як старанно ми не відновлювали б основний комплекс умов, при яких має відбуватися дослід, проте результати будуть більш або менш відмінні між собою; вони, як кажуть, зазнають випадкового розсіювання. Вимірюватимемо, наприклад, кілька разів спад напруги на певній дільниці електричного кола за допомогою того самого вольтметра. Щоразу ми діставатимемо дещо відмінні значення напруги, бо на результат вимірювання можуть впливати різні випадкові фактори, які важко (а то й неможливо) наперед урахувати. До таких факторів належать коливання окремих частин приладу, зміна температури середовища, його вологості, фізіологічні зміни в органах відчуття дослідника, його настрій і т. д.
З ускладненням соціально-економічних умов життя людини дедалі розвивались і її здібності до абстрактного мислення. Разом з тим поступово втрачався первісний конкретний характер числівників. Слово, яке означало до того і конкретний предмет і числівник, зберігає тепер лише друге значення. Водночас розбіжність, яка існувала при первісному господарстві в найменуваннях числівників, потроху згладжувалась.
Кілька математичних ігор, які можна використати як у позакласній роботі з учнями І-II класів, так і на уроках. Кожна гра - це вільне заняття, цікаве проведення часу. Разом з тим вона є джерелом знань учнів на ранніх стадіях математичної освіти. Вибирати ігри треба відповідно до віку дітей, змісту матеріалу уроку і рівня знань учнів.
Читати далі »
Однією з цікавих і важливих форм позакласної роботи є математичні екскурсії.
На екскурсіях учні дістають початкові відомості з геометрії, розвивають окомір, а також набувають навичок практично застосовувати знання.
Під час екскурсії можна зібрати числові дані для складання задач на місцевому матеріалі, різних таблиць, діаграм, які потім використовуватимуться на уроках і заняттях математичного гуртка.