Предмет теорії ймовірностей

У наукових і технічних дослідженнях, а також на виробництві досить часто доводиться зустрічатися з до­слідами, що повторюються при однакових умовах. Вияв­ляється, що хоч як старанно ми не відновлювали б ос­новний комплекс умов, при яких має відбуватися дослід, проте результати будуть більш або менш відмінні між собою; вони, як кажуть, зазнають випадкового розсіювання. Вимірюватимемо, наприклад, кілька разів спад напруги на певній дільниці електричного кола за допомогою того самого вольтметра. Щоразу ми діставати­мемо дещо відмінні значення напруги, бо на результат вимірювання можуть впливати різні випадкові фактори, які важко (а то й неможливо) наперед урахувати. До таких факторів належать коливання окремих частин при­ладу, зміна температури середовища, його вологості, фізіо­логічні зміни в органах відчуття дослідника, його настрій і т. д.

З випадковим розсіюванням ми зустрічаємось і в ін­ших умовах. Відомо, зокрема, що фактична траєкторія снаряда відрізняється від теоретично розрахованої, бо на його рух впливають неоднорідність структури заряду, ме­теорологічні умови, різна густина і турбулентність повітря тощо. Тому, якщо зробимо декілька пострілів з однієї гармати при незмінних основних умовах стрільби, то ді­станемо не одну траєкторію, а так званий «сніп» траєк­торій.

У більшості практичних задач з великої кількості факторів, що впливають на хід того або іншого явища, вибирають, звичайно, найголовніші, а вплив випадкових факторів не враховують. Вважають, таким чином, що явище відбувається в цілком визначених умовах, тобто замість реального явища розглядають його модель (схему). З такими схемами ми зустрічаємось у фізиці, механіці тощо.

Наприклад, у шкільній практиці тиск газу на стінки посудини знаходять за допомогою закону Бойля—Маріотта. Тим часом цей закон справедливий лише для ідеального (уявного) газу, між молекулами якого не існує взаємного притягання, а самі молекули його мисляться як малі пружні кульки.

У міру розвитку науки і техніки дедалі більше стає потрібним вивчати не тільки основні закономірності, що описують явище в загальних рисах, а й закономірності, установлені з урахуванням все більшої кількості випад­кових факторів.

Хоч ми й не можемо, наприклад, передбачити наперед результат окремого вимірювання спаду напруги на деякій дільниці електричного кола, проте це зовсім не означає, що при багаторазовому повторенні такого вимірювання в однакових умовах не проявляється ніяка закономірність. Практика показує, що при багаторазовому повторенні до­сліду випадкове розсіювання у величезній кількості випад­ків підлягає певним стійким законам.

Щоб проілюструвати це, проаналізуємо положення про тиск газу, який, як відомо, зумовлюється сукупністю уда­рів молекул об стінку посудини. Через те що траєкторії молекул зазнають випадкового розсіювання, то, здавалося б, такий самий випадковий характер матиме і тиск газу на стінки посудини, величину якого дуже важко проконт­ролювати. Виявляється, що це не так. При наявності ве­личезної кількості молекул тиск газу практично не зале­жить від траєкторій окремих молекул і підпорядковується порівняно простій закономірності. Отже, випадкові фак­тори, що впливають на рух молекул, у всій своїй сукуп­ності неначе взаємно компенсуються.

Цілком певну закономірність випадкового розсіювання можна спостерігати і при дослідженні на якість великої кількості яких-небудь деталей, виготовлених на тому са­мому виробництві, при порівнянні результатів зважування тіла на аналітичних терезах тощо. Нехай один стрілець зробить велику кількість пострілів по штучній мішені. Тоді пробоїни розташуються за певним законом: вони бу­дуть приблизно симетричні відносно деякої центральної точки, причому найбільша кількість влучань буде саме біля цієї точки. Зазначимо, що положення на мішені центральної точки залежатиме від майстерності стрільця.

Говорячи про закономірності випадкового розсіювання, ми маємо на увазі велику кількість результатів дослі­дження. Саме масовість результатів дослідження, а не при­рода досліджуваного явища забезпечує виконання такої закономірності. Ми можемо ті самі закони спостерігати при вивченні великої кількості влучань одиничними пострілами, великої кількості результатів вимірювання, при дослідженні великої кількості деталей або предметів, виготовлених на тому самому заводі, і т. д.

Масовим ми називатимемо таке явище, яке властиве великій кількості рівноправних об'єктів. Під рівноправ­ними об'єктами розумітимемо результати досліду, що повторюється при однакових умовах (одиничні постріли, окремі вимірювання і т. д.).

Теорія ймовірностей — це наука, що вивчає масові явища. Вона має велике пізнавальне значення в різних галузях науки і техніки, бо з масовими явищами можна зустрітись і в біології, медицині, ботаніці, меліорації, і в соціальних науках, і у фізиці, астрономії, хімії. Ре­зультати вивчення масових явищ ураховують при конст­руюванні літаків і вимірювальних приладів, при буду­ванні кораблів, водосховищ, при плануванні та організа­ції виробництва і т. д.

Найпростіші задачі теорії ймовірностей виникли на основі спроб розробити теорію азартних ігор і розв'язу­валися вже в XVII ст. Чимало таких задач розв'язали Галілей (1564—1642), Паскаль (1623—1662), Ферма (1601—1665).

Оформлення теорії ймовірностей як науки пов'язане з ім'ям Якоба Бернуллі (1654—1705); дальшого розвитку вона дістала в працях Лапласа (1749—1827), Гаусса (1777—1855) і Пуассона (1781—1840).

Визначний вклад у цю науку внесли П. Л. Чебишов (1821—1894), А. А. Марков (1856—1922), О. М. Ляпунов (1857—1918). Завдяки їх працям теорія ймовірностей стала стрункою математичною наукою.

Джерело: Позакласна робота з математики в школі. В.І. Коба. Київ 1968.

Ключові слова: , , , , .