Числа-сукупності
Щоб поліпшити методи лічби, раціоналізувати їх, деякі народи почали кілька разів підряд лічити пальці однієї чи двох рук або двох рук і ніг. Легше також лічити зарубки (вузлики, палички, камінці), якщо їх об'єднати в однакові групи, наприклад, по 5, 10, 20 (метод групування). Саме в цьому напрямі в основному розвивалися натуральні числа, що й привело до створення десяткової, п'ятіркової, двадцяткової та інших систем числення.
При лічбі числами-сукупностями, по суті, ще немає абстрактних чисел. У туземців Флориди слово «на-куа» означає 10 яєць, «на-банар» — 10 кошиків з їжею. Проте окремо слово «на», яке відповідало б числу 10, не вживається. На одному з діалектів індіанців Західної Канади слово «тха» означає три речі, «тхане» — три особи, «тхат» — три рази, «тхатоен» — у трьох місцях і т. д. Слова, яке б означало абстрактне число 3, у цьому діалекті немає.
Число було тісно пов'язане з множиною конкретних предметів: дві корови, чотири вівці, п'ять стріл і т. д. Неіменованих чисел ще не було, отже, ми бачимо, що вміння лічити не пов'язане з наявністю спеціальних найменувань для числівників, а тим більше спеціальних позначень для цифр.
Утворення числівників — це вже досить висока стадія розвитку лічби. Тільки з часом, коли способи лічби стали досконалішими, повинно було поступово сформуватися поняття натурального числа. Почали з'являтися слова для позначення чисельності певної сукупності предметів. Можливо, що основну роль у цьому процесі відіграли рівночисельні множини предметів, тобто такі, елементи яких можна порівнювати парами. Наприклад, 5 овець і 5 коней; кожній вівці ставимо у відповідність одного коня.
Наступним удосконаленням способів лічби є метод багаторазового групування. Стійкі числа-сукупності починають застосовувати як нові одиниці під час лічби. Якщо, наприклад, спочатку групували по 10 паличок, роблячи з них пучок, який був ніби одиницею вищого розряду, то згодом стали об'єднувати по 10 таких пучків, дістаючи більшу одиницю лічби.
Деякі племена ще й досі застосовують під час лічби метод групування. Довільну сукупність предметів можна було взяти за нову одиницю лічби і покласти в основу створення системи числення.
Проте числа-сукупності були прообразами тільки так званих вузлових чисел, тобто таких, що мають індивідуальні назви, які не розкладаються на складові числівники, наприклад, один, два, десять, сорок, сто, тисяча і т. д. Числа, назви яких утворені внаслідок комбінацій назв вузлових чисел, називають алгоритмічними.
Як залишок групової лічби згадаємо лічбу дюжинами. Дюжина становила одиницю лічби, дюжина дюжин — грос, а дюжина гросів — масу. Такою дванадцятковою системою користуються ще и тепер деякі племена Судану.
Існуванням лічби дюжинами можна пояснити те, що число 13 забобонні люди й досі вважають числом нещасливим. Коли припустити, що число 12 було довгий час синонімом повноти і що ним закінчувалася певна група чисел, то число, яке стояло за ним, могло здаватись навіть шкідливим і, отже, нещасливим. Наприклад, число 13 у стародавніх євреїв позначалося буквою М. Але з цієї ж букви в староєврейській мові починалось слово смерть. Такий збіг, на думку забобонної людини, не міг бути випадковим.
Довгий час «межовим» числом у багатьох народів, у тому числі і в слов'ян, було число сорок.
У російській лічбі число «сорок», а пізніше «сорок сороків» позначало невизначено велику множину. На таке значення цього числа також вказує індивідуальна назва його та користування ним при позначенні дуже великої кількості предметів — «сорок сороків церков», «сорок сороків чорних соболів». Про це свідчать також релігійні звичаї і народні повір'я, наприклад, сороковий ведмідь для мисливця вважається останнім.
Пізніше, коли число «сорок» уже перестало бути межовим, воно почало відігравати велику роль У російській метрології як основа системи мір: пуд мав 40 фунтів бочка-сороковка — 40 відер і т. д. Число «сорок» стало своєрідною одиницею лічби, наприклад: «5 сороків соболів». Значення межового це число мало і в багатьох народів Близького Сходу.
Киргизький народний епос про героя Манаса з 40 побратимами нагадує російські билини про 40 богатирів.
Таке явище спостерігається і у Франції, де французька академія або «Академія сорока безсмертних» складається з 40 кращих французьких письменників. Коли хто-небудь вибуває із складу академії, на його місце обирають іншого.
Справжнім полюванням російські вельможі вважали таке, в якому брали участь 40 псарів, 40 єгерів 40 гусарів, 40 гончаків, 40 хортів і т. д.
Російська назва комахи «сороконожка» означає що в неї не 40 ніжок, а багато. Українці називають цю комаху «стоногою», а інші народи звуть «тисячоніжкою». Сузір'я Плеяд німці називали Семизір'ям, росіяни — Стожарами, українці — Волосожаром.
Цікава історія числа «шістдесят», яке часто згадуються у вавилонських, персидських і грецьких легендах як синонім великого числа.
Вавилоняни вважали його числом божим, 60 — число вавилонських богів, причому кожного з цих богів позначено числом від 1 до 60 (Бел — творець Всесвіту — 20, Мардук — бог планети Юпітер — 11; Син — бог Місяця — 30 і т. д.).
Шістдесят ліктів висоти має золотий ідол з храму вавилонського царя Навуходоносора (604-562/561 до н.е.). Пізніше з тим самим значенням (незліченої множини) виникли числа, кратні 60 : 300, 360. Давньоперсидський цар Ксеркс (486-465 до н. е.) 300 раз ударив Геллеспонта. Кір (теж давньоперсидський цар — 558-529 до н. е.) глибоку річку Гіндес, в якій утопився один з його любимих коней, поділив на 360 рукавів. В одній персидській пісні співається про 360 корисних застосувань пальми.
Давньогрецький історик Геродот (близько 484-425 до н.е.) так описує розпорядження давньоперсидського царя Дарія, яке той дав іонійцям після переправи через річку Істр під час походу на скіфів (VI ст. до н. е.):
«Після цього цар зав'язав на поясі 60 вузлів, покликав на нараду всіх іонійських тиранів і сказав їм: «Візьміть цей пояс і зробіть так: починаючи саме з того часу, коли я піду на скіфів, розв'язуйте на поясі щодня по одному вузлу; якщо за цей проміжок часу я не повернуся назад і мине число днів, позначене вузлами, пливіть назад на батьківщину; а до тієї пори охороняйте міст, докладіть усіх зусиль, щоб захистити і зберегти його».
Числа, які трапляються у вавилонських переказах, становлять подвійний культурно-історичний інтерес. Вавілон — це батьківщина ворожінь, які ґрунтуються на числах, батьківщина різних числових забобонів, що значною мірою вплинули на ідеї Піфагорійської школи, в якій «усе є число».
Число 60 у Вавилоні лягло в основу шістдесяткової системи числення, сліди якої збереглися до наших днів при вимірюванні часу і кутів.
Тут ми також маємо справу з методом багаторазового групування: 1 година ділиться на 60 хвилин, 1 хвилина на 60 секунд, повний круг ділиться на 360 градусів, кожний градус на 60 мінут, кожна мінута — на 60 секунд
Отже, числа 3, 7, 10, 12, 40, 60, 100, 1000, 10 000, ... які потрапили в категорію «містичних чисел», — це не що інше, як колишні межові числа наших предків, і нічого таємничого і загадкового в них немає.
Зауважимо, що стародавні системи лічби — не єдині джерела «містичних чисел».
Коли люди навчилися вже непогано лічити й оперувати абстрактними числами, вони помітили, що в навколишньому світі багато що пов'язане з числовими співвідношеннями. Через певну кількість днів у природі змінюються пори року; висота звуку, який видає струна, залежить від довжини цієї струни і т.д. Усе це природно наштовхнуло людей на думку про божественну суть чисел.
Крім того, багато народів спочатку записували числа не спеціальними знаками — цифрами, а буквами алфавіту. А це приводило до того, що число можна було прочитати як слово, а слово як число. Це в свою чергу давало додаткові підстави для містичного тлумачення чисел.
Джерело: О. І. Бородін. Історія розвитку поняття про число і системи числення.