Про обґрунтування поняття натурального числа
Натуральні числа, крім основної функції — характеристики кількості предметів, мають ще й іншу функцію — характеристику порядку предметів, розміщених у ряд.
Поняття порядкового числа (перший, другий, і т. д.), яке виникає у зв’язку з цією функцією, тісно переплітається з поняттям кількісного числа (один, два і т. д.). Зокрема, розміщення в ряд деяких предметів і наступне їх перелічування із застосуванням порядкових чисел — спосіб лічби, який застосовувався з давніх-давен (наприклад, якщо останній з перелічуваних предметів буде сьомий, то це й означає, що є сім предметів).
Поняття про натуральне число тривалий час у науці не обґрунтовувалося. Воно таке звичне і просте, що не було потреби давати йому означення через які-небудь простіші поняття. Тільки всередині XIX ст. під впливом розвитку в математиці аксіоматичного методу, з одного боку, і критичного перегляду основ математичного аналізу, — з другого, назріла потреба обґрунтувати поняття кількісного натурального числа.
Чітке означення цього поняття на основі поняття множини (сукупності предметів) дав у 70-х роках XIX ст. німецький математик Г. Кантор (1845—1918). Спочатку він означає поняття рівнопотужності сукупностей.
Дві сукупності називаються рівнопотужними, якщо кожному предмету однієї сукупності можна поставити у відповідність один і тільки один предмет другої сукупності.
Потім число предметів, які утворюють дану сукупність, Кантор означає як те спільне, що має дана сукупність і всяка інша рімнопотужна їй сукупність предметів незалежно від якісних особливостей цих предметів. Таке означення відбиває суть натурального числа як результату лічби предметів, що утворюють дану сукупність.
Справді, на всіх історичних стадіях розвитку суть лічби полягала у зіставленні по одному предметів, які треба полічити, і предметів, які утворюють «еталонну» сукупність (на ранніх ступенях — пальці руки, зарубки на палиці і т. д., на сучасному етапі — слова або знаки, які позначають числа). Означення, яке дав Кантор, було основою для узагальнення поняття кількісного числа в напрямі кількісної характеристики нескінченних множин.
Інше, аксіоматичне, обґрунтування поняття натурального числа дав італійський математик Дж. Пеано (1858—1932). Він побудував систему аксіом, що грунтується на понятті відношення порядку.
Джерело: О. І. Бородін. Історія розвитку поняття про число і системи числення.