Як навчати учнів розв’язувати стереометричні задачі
(Загальні зауваження)
Про те, як навчитись розв’язувати задачі, написано немало праць. У методичних посібниках подано загальні правила, поради, вказівки, які, на думку авторів, допомагають учням швидше навчитись розв’язувати задачі. Система порад, розроблена американським математиком Д. Пойа, найбільш відома, проте вона стосується всіх математичних задач, а тому досить загальна. Конкретнішою щодо геометричних задач є система порад Є. Ф. Данилової. Всього ця система містить 45 порад, що входять у такі шість груп:
- Точно і чітко зрозуміти зміст задачі.
- Скласти план розв’язування задачі.
- Виконати план.
- Обґрунтувати розв’язання.
- Дослідити розв’язок.
- Перевірити розв’язання.
Зауважимо, що в сучасних умовах дві останні групи можна не виділяти, бо вони стосуються далеко не всіх стереометричних задач, а обґрунтування розв’язання можна вважати складовою частиною групи III. Тому замість трьох останніх груп ми сформулювали б одну: IV. Відповідно оформити розв’язання. Відповідно — означає так, як пропонував учитель: стисло, з коротким чи розгорнутим поясненням.
Основне і найважче — скласти план розв’язування задачі. Є. Ф. Данилова в цій групі формулює 14 порад:
- Розчленувати задачу на частини, якщо вона має кілька запитань.
- З’ясувати, чи не є задача безпосередньо розв’язуваною.
- З’ясувати, чи всі дані і шукані елементи введено в малюнок.
- Шукати ідею розв’язання проведенням допоміжних ліній, пов’язаних з означеннями згаданих у задачі понять, і розкладаючи фігуру на трикутники.
- Шукати ідею розв’язання за допомогою експерименту і розгляду малюнка.
- З’ясувати, чи не можна замінити формулювання задачі іншим, зручнішим, а конкретну задачу — абстрактною геометричною.
- З’ясувати, чи не можна перетворити дані, діставши з них наслідки.
- З’ясувати, чи не можна уявити задачу розв’язаною і дістати в зв’язку з цим ряд наслідків.
- З’ясувати, чи не можна скласти загальну формулу розв’язання задачі на обчислення або побудову.
- З’ясувати, чи не можна перетворити шукані дані.
- Розглянути окремі випадки, які вичерпують задачу.
- З’ясувати, чи доводжуване твердження не є оберненим якому-небудь вже доведеному твердженню.
- З’ясувати, чи не можна застосувати метод геометричних перетворень (симетрію, паралельне перенесення, гомотетію та ін.)
- З’ясувати, чи не можна застосувати метод геометричних місць.
Безперечно, всі ці поради корисні. І вчитель, допомагаючи учням скласти план розв’язування задачі, може вести їх до мети саме такими короткими запитаннями: «Чи не можна розчленувати задачу на частини?», «Чи не можна скористатись гомотетією?» тощо. Зрозуміло, що кількість таких порад треба доповнити:
- Чи не можна скористатись векторним методом?
- Чи не можна скористатись координатним методом?
- Чи не можна скористатись похідною, інтегралом?
Для задач окремих видів такі поради можна конкретизувати. Наприклад, навчаючи учнів розв’язувати задачі на побудову, корисно пропонувати:
- Уявіть, якою може бути побудована фігура.
- Виконайте ту частину побудови, яку можна виконати відразу.
- Якщо площина перетинає паралельні площини, то лінії перетину паралельні!
- Спробуйте скористатись методом слідів.
- Спробуйте скористатись методом відповідності.
- Спробуйте скористатись методом подібності.
- Спробуйте скористатись алгебраїчним методом.
Зрозуміло, перш ніж давати учням такі поради, треба їх ознайомити з названими методами. І не слід переоцінювати роль таких порад. Щоб навчити учнів розв’язувати стереометричні задачі, перш за все, треба розв’язувати багато таких задач. Але якщо розв’язувати їх без системи, без узагальнень, без акцентування уваги учнів на окремих методах, на часто повторюваних прийомах, то бажаного результату досягти не можна.
Джерело: Г. П. Бевз. «Методика розв’язування стереометричних задач». Київ 1988.