Цікавинки для допитливих, навчальні матеріали

Теорія границь

Інтуїтивне поняття про граничний перехід використовувалося ще вченими Древньої Греції при обчисленні площ і об'ємів різних геометричних фігур. Методи вирішення таких завдань в основному були розвинені Архімедом.

При створенні диференціального та інтегрального числення математики XVII століття (і, перш за все, І. Ньютон) також явно чи неявно використовували поняття граничного переходу.

Вперше визначення поняття границі було введено в роботі Дж. Валліса «Арифметика нескінченних величин» (XVII століття), проте історично це поняття не лежало в основі диференціального та інтегрального числення.

Читати далі »

Комбінаторика. Елементи теорії ймовірностей

Комбінаторика — розділ математики про вибір і розташування елементів деякої множини на підставі будь-яких умов.

Комбінаторика почала виділятися в окремий розділ математики в роботах Б. Паскаля і П. Ферма, хоча окремі поняття і факти комбінаторики були відомі ще математикам античності та середньовіччя.

Читати далі »

Початки диференціального та інтегрального числення

Математичний аналіз як розділ математики виник в результаті об'єднання двох різних і спочатку не пов'язаних напрямків математичних досліджень — диференціального та інтегрального числення.

Спочатку інтуїтивне уявлення про математичний об'єкт, який ми зараз називаємо визначеним інтегралом, зустрічалося в роботах мислителів Стародавньої Греції.

Так, Архімед для обчислення об'ємів і площ поверхонь тіл користувався розбивкою фігур на елементи з наступним підсумовуванням цих елементів, передбачаючи тим самим поняття інтегральних сум.

Аналогічними завданнями, розвиваючи метод Архімеда, займалися Кеплер, Паскаль, Ферма та інші вчені.

Ферма також займався завданнями, які ми зараз відносимо до диференціального числення, — проведенням дотичних до кривих, знаходженням найбільшого і найменшого значень функцій і т. д., причому для вирішення цих завдань він, по суті, користувався поняттям приросту функції.

Читати далі »

Виникнення геометрії

Виникнення геометрії сягає глибокої давнини і було обумовлено практичними потребами людської діяльності (необхідністю вимірювання земельних ділянок, вимірювання об'ємів різних тіл і т. д.).

Найпростіші геометричні відомості і поняття були відомі ще в Давньому Єгипті. У цей період геометричні твердження формулювалися у вигляді правил, які даються без доказів.

З VII століття до н. е. по I століття н. е. геометрія як наука бурхливо розвивалася в Стародавній Греції. У цей період відбувалося не тільки накопичення різних геометричних відомостей, а й відпрацьовувалася методика доказів геометричних тверджень, а також робилися перші спроби сформулювати основні первинні положення (аксіоми) геометрії, з яких чисто логічними міркуваннями виводиться безліч різних геометричних тверджень. Рівень розвитку геометрії в Стародавній Греції відображений у творі Евкліда «Начала».

Читати далі »

Алгебра. Історична довідка

Термін «алгебра» походить від назви твору Мухаммеда аль-Хорезмі «Альджебр аль-мукабала» (IX століття), що містить загальні методи вирішення задач, які зводяться до рівнянь 1-й і 2-го степеня.

До середини XVII століття в основному склалася сучасна алгебраїчна символіка. Аж до XVIII століття під алгеброю розумілася наука про буквені обчислення — тотожні перетворення буквених формул), рішення рівнянь 1-й — 4-го степеня, логарифми, прогресії, комбінаторика. В даний час всі ці розділи алгебри прийнято називати елементарною алгеброю.

Читати далі »

Дійсні числа. Історична довідка

Число — це найважливіше математичне поняття. Натуральні числа, які використовують для лічби в практичній діяльності, з'явилися на самих ранніх етапах розвитку людської цивілізації.

Спочатку поняття абстрактного числа було відсутня — число було «прив'язане» до тих предметів, які перераховували, і в мові первісних народів існували різні словесні обороти для позначення одного і того ж числа різних предметів. Абстрактне поняття натурального числа (тобто числа, не пов'язаного з перерахунком конкретних предметів) з'являється і закріплюється разом з розвитком писемності і введенням для позначення чисел певних символів.

Поява дробових (додатних раціональних) чисел було пов'язано з необхідністю провести вимірювання, тобто процедуру, в якій будь-яка величина порівнюється з іншою величиною того ж роду, що вибирається в якості еталона (одиниці виміру). Але так як одиниця виміру не завжди вкладалася цілу кількість разів у вимірювану величину, і знехтувати цією обставиною в ряді випадків було не можна, то виникла практична потреба запровадити більш «дрібні» числа, ніж натуральні. Це і було джерелом виникнення найбільш «простих» дробів, таких, як половина, третина, чверть і т. д. Подальший розвиток поняття числа був обумовлений вже не тільки безпосередньою практичною діяльністю людини, а й став наслідком розвитку математики.

Читати далі »

Введення від’ємних чисел народами Китаю та Індії

Введення від'ємних чисел було зумовлене, в першу чергу, розвитком алгебри як науки, що дає загальні способи розв'язування арифметичних задач незалежно від вихідних числових даних. Від'ємні числа були необхідні вже при розв'язуванні задач, які зводяться до рівнянь першого степеня з однією змінною. Можливий від'ємний розв'язок у таких задачах можна пояснити прикладами протилежних величин (протилежно напрямлені вектори, температура, вища і нижча від нуля, майно — борг і т. д.).
Читати далі »

Виникнення дробів

Поява аліквотних дробів дуже характерна для початкового розвитку поняття числа в стародавній цивілізації. Вона зумовлена процесом подрібнення цілого на частини. Цим можна пояснити виникнення аліквотних дробів виду $1/n$ при невеликих $n$ (наприклад, $n = 2, 3, 4, 6, 8, 10$), оскільки практично в той час навряд чи потрібно було ділити одиницю на велике число частин.

Інше (основне) джерело виникнення дробів — процес вимірювання, який з'явився майже одночасно з лічбою. В основі будь-якого вимірювання завжди лежить якась величина (довжина, об'єм, вага і т. д.). Вибір тієї чи іншої одиниці, яка є основою системи мір, зумовлювався конкретною історичною обстановкою.

Читати далі »

Переваги десяткової позиційної системи нумерації

Важко уявити систему числення, яка була б зручнішою від позиційної. За основу системи числення можна взяти будь-яке натуральне число. Це положення висловив видатний французький математик, фізик і філософ Паскаль (1623—1662).

Для систем числення з малою основою потрібно небагато цифр, але запис чисел виходить дуже довгий; для систем числення з великою основою, навпаки, потрібно більше цифр, зате запис чисел набагато коротший. У системах числення з досить великою основою таблиці множення громіздкі і важко запам'ятовуються.

На різних ступенях розвитку людства в різних країнах користувалися різними системами числення. Але чим розвинутішою була система лічби, тим більше наближалася вона до десяткової.

Читати далі »

Позиційні системи нумерації

Першою відомою нам позиційною системою числення є шістдесяткова система стародавніх вавилонян, яка виникла приблизно за 2000 р. до н. е. Сліди її збереглися і досі (співвідношення між градусом, мінутою секундою; годиною, хвилиною, секундою).

Рис.1. Вавилонські числа від 1 до 59.

Вавилоняни записували всі числа від 1 до 59 у десятковій (але не позиційній) системі за допомогою повторення двох «клинів». Число 60 (одиницю вищого розряду) записували так само, як і 1, але на більшій відстані від інших клинів. Цілі числа, більші за 59, записували в позиційній шістдесятковій системі. Клини, якими записували числа, могли щільно прилягати один до одного.

Читати далі »