Цікавинки для допитливих, навчальні матеріали

Першою відомою нам позиційною системою числення є шістдесяткова система стародавніх вавилонян, яка виникла приблизно за 2000 р. до н. е. Сліди її збереглися і досі (співвідношення між градусом, мінутою секундою; годиною, хвилиною, секундою).

Рис.1. Вавилонські числа від 1 до 59.

Вавилоняни записували всі числа від 1 до 59 у десятковій (але не позиційній) системі за допомогою повторення двох «клинів». Число 60 (одиницю вищого розряду) записували так само, як і 1, але на більшій відстані від інших клинів. Цілі числа, більші за 59, записували в позиційній шістдесятковій системі. Клини, якими записували числа, могли щільно прилягати один до одного.

Щоб уникнути неправильного читання, між розрядами залишали помітний проміжок (прогалину).

Знака для зображення нуля у вавилонській системі числення не було, а щоб показати відсутність якого-небудь розряду в записі числа, вавилоняни робили більший проміжок між значущими розрядами, ніби вставляючи цим самим нульовий розряд. Але визначати величини проміжків між цифрами було незручно. Це ще більше посилювалося тим, що «нульового» розряду, якщо він був найменшим у записі числа, ніяк не позначали, наприклад, запис числа 169 = 2·60 + 49 за допомогою клинопису міг означати і число 10140 = 2·60² + 49·60, і число 608400 = 2·60³ + 49·60² і т. д.

Ось чому нумерацію математичних клинописних текстів називають нумерацією з неозначеною позицією.

Шістдесяткова система вавилонян відіграла велику роль у математиці й астрономії. Походження цієї першої позиційної системи і досі точно не з’ясоване, незважаючи на те, що вона привертає увагу вчених уже багато років.

Поява позиційної системи числення була важливим явищем в історії культури. Вона не могла бути випадковою. Підтвердженням цього є самостійне виникнення в різні часи позиційної системи принаймні в трьох різних народів:

1. у вавилонян — понад 2000 р. до н. е.;
2. в індійського племені майя на початку н. е, у колишніх жителів півострова Юкатан, що у Центральній Америці;
3. в Індії у VIII — IX ст. н. е.

Родоначальницею нашої сучасної нумерації була, очевидно, нумерація, що виникла в Індії. На жаль, дуже мало відомо про те, як і коли в Індії почали позначати числа за позиційним принципом. З Індії ця система поширилася в інші країни. Деякі народи запозичили в індійців тільки позиційний принцип, зберігши своє старе написання цифр (наприклад, китайці), інші — запозичили в індійців і їх цифри.

Рис.2. Нумерація Древньої Індії (ілюстрація).

У індійській нумерації всі числа від 1 до 9 позначаються спеціальними символами (цифрами): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. До них приєднується знак 0, яким позначається число нуль. Будь-яке натуральне число можна однозначно зобразити за допомогою тільки цих десяти знаків (цифр) за принципом позиційного їх значення.

N = a_n·10ⁿ + a_n-1·10^n-1 + … + a₁·10 + a₀ = a_na_n-1 … а₁а₀.

Тут значення кожного символа (цифри) a_i (1, 2,..., 9, 0) визначається його зображенням і положенням у записі числа. Наприклад,

724032 = 7·10⁵ + 2·10⁴ + 4·10³ + 0·10² + 3·10 + 2;

цифра 2 зустрічається двічі в записі числа: в одному місці вона означає число 2, а в другому — число 20000.

Такою лічбою (десятками) користувалося багато народів. Вона дуже поширилася через те, що люди мали природну лічильну машину» — десять пальців на руках.

Як говорив видатний російський математик М. М. Лузін (1883—1950), «Переваги десяткової системи не математичні, а зоологічні. Якби в нас на руках було не десять пальців, а вісім, то людство користувалося б вісімковою системою».

Аналогічно щодо цього висловився відомий французький математик А. Лебег (1875—1941): «Можливо, що, коли б люди мали 11 пальців, була б прийнята одинадцяткова система числення».

Незважаючи на позірну простоту нашої системи запису, вона була продуктом довгого історичного розвитку і в її створенні брали участь цілі народи. Можна сказати, що створення такої системи було справою всього людства. Видатний французький математик і фізик Лаплас (1749—1827) писав: «Думка подати всі числа дев’ятьма знаками, надаючи їм, крім значення за формою, ще й значення за місцем, така проста, що саме внаслідок цієї простоти важко зрозуміти, наскільки вона чудова. Як нелегко було прийти до цієї методи, ми бачимо на прикладі великих геніїв грецької науки Архімеда іАполлонія, які до цього не дійшли».

Записувати числа за позиційною десятковою системою з використанням нуля почали в Індії приблизно в 500 р. н. е., причому в різних її областях цифри писали по-різному.

Вже в 874 р. з’явились рукописи арабською мовою, які містили індійський позиційний запис чисел. Індійські, або, як їх іноді називають арабсько-індійські цифри пізніше поширились на всьому мусульманському сході, а також у мавританських країнах (територія сучасної Іспанії). Вони й стали прямими родоначальниками наших цифр.

Хоч перші записи арабсько-індійськими цифрами можна знайти в іспанських рукописах ще в X ст. (а в одному рукописі X ст. із Сан-Гала — університетської бібліотеки в Цюріху є вже знак нуля), у Європі нова система почала застосовуватися тільки в XII ст. Цьому сприяв переклад на латинську мову арифметичної праці видатного узбецького вченого ал-Хорезмі (бл. 780 — бл. 850), в якій викладено спосіб позиційного числення. Цей спосіб дістав назву алгоритму (від видозміненого прізвища ал-Хорезмі).

Нова нумерація в Європі зустріла жорстокий опір як з боку схоластичної науки того часу, так і з боку окремих урядів. Наприклад, у 1299 р. у Флоренції купцям було заборонено при підрахунках користуватися новими цифрами, а лише римськими або записувати числа словами. В офіційних паперах аж до XVIII ст. дозволялося користуватися тільки римськими цифрами.

Одним з перших в Європі зрозумів переваги нової нумерації французький церковний математик Герберг (бл. 940 — 1003), який у 999 р. став римським папою під іменем Сільвестра II. Він зробив спробу провести реформу викладання математики і ввести нову систему числення. Проте нововведення викликало гнів в інквізиції. Папу звинуватили в тому, що він «продав душу сарацинським дияволам». Реформу не прийняли, а папа-математик незабаром помер.

Переконаним прихильником нової нумерації в Європі був знаменитий італійський математик середньовіччя Леонардо Пізанський (близько 1170 — 1240), відомий також під ім’ям Фібоначчі. Тим часом у Німеччині, Франції і Англії до кінця XV ст. новими цифрами майже не користувалися.

Нa початку XV ст. нова нумерація проникає в Росію, але православна церква оголосила її безбожною. Книжки, де було використано цю нумерацію, заборонялися, а власників їх жорстоко карали. Це робили з двох причин:

1. У новій нумерації арифметичні дії над числами  були такі прості, що могли бути доступні широкому колу людей, а це було невигідно церкві;
2. В той час велась жорстока боротьба між православною і католицькою церквами, і служителі православної церкви бачили в поширенні нової нумерації посилення впливу католицизму.

У творах, що друкувалися старослов’янською мовою, індійськими цифрами стали нумерувати сторінки книжок (вперше — двох книжок духовного змісту, виданих в Угорщині в 1621 p.). У відомій «Арифметиці» Магницького (1669—1739), виданій у 1703 p., сторінки позначено слов’янськими цифрами, а обчислення в тексті наводяться індійськими цифрами.

Рис.3. Лист з «Арифметики» Магницького».

Найбільш ранні російські монети з індійськими цифрами належать до 1654 р. При Петрі І індійські цифри на монетах повністю витісняють слов’янські, які востаннє з’явилися на мідних монетах 1718 р. У після-петровські часи слов’янські цифри швидко зникли з ужитку.

Джерело: О. І. Бородін. Історія розвитку поняття про число і системи числення.

Ключові слова: система числення.