Нескінченність ряду натуральних чисел
Коли дитина вперше знайомиться з натуральним числами і починає лічити, вона ще не розуміє, що цих чисел безліч. На початковій стадії розвитку математичних понять діти дуже часто запитують, яке число найбільше? Приблизно те саме спостерігалося під час розвитку лічби наших далеких предків.
Натуральний ряд чисел люди довго не уявляли нескінченним, хоч різні народи вже мали назви для дуже великих чисел. Пізніше, коли числовий запас був уже досить великий, деякі вчені подовжували натуральний ряд, виходячи за межі практичних потреб, і наближались до поняття нескінченності. Так, за три століття до н.е. у стародавній Індії вже вільно оперували числами будь якої величини.
Історію виникнення великих чисел і поняття нескінченності часто пов’язують з релігійним культом. Особливо важливе значення мали великі числа в релігіях Китаю та Індії. У цих народів вони символізували могутність. Наприклад, за давньоіндійськими легендами Будда (міфічний засновник буддійського релігійного вчення, ще юнаком відзначався мистецтвом лічби; він знав числа, якими можна було полічити все: зернини в полі, піщинки у річці Ганг і весь пісок мільйона рік, таких великих, як Ганг. Будда «знав» навіть число, за допомогою якого боги обчислюють своє минуле і майбутнє.
Проте тільки великий давньогрецький математик, фізик і механік Архімед (близько 287—212 до н. е.) знайшов спосіб побудови і словесного позначення як завгодно великих чисел («Псамміт, або обчислення піску в просторі, який дорівнює кулі нерухомих зірок»).
Зауважимо, що з відкриттям нескінченності ряду натуральних чисел в математику вперше ввійшла нескінченність.
Отже, історія виникнення поняття натурального числа спростовує різні ідеалістичні теорії про «вродженість» поняття числа, про те, що числа — лише знаки, дані богом людям або продукт людського духу.
Адже, як ми бачили, людина оперувала спочатку (фактично) з елементами різних скінченних множин і тільки в складному, діалектико-суперечливому процесі взаємодії практики і найпростіших теоретичних узагальнень свого практичного досвіду прийшла спочатку до уявлення, а потім і до поняття натурального числа.
З розвитком поняття натурального числа як результату лічби предметів виникають дії над числами: додавання, віднімання, множення і ділення, причому спочатку — як дії над відповідними сукупностями предметів. Лише в процесі нагромадження досвіду склалось уявлення про абстрактний характер цих дій, про незалежність кількісного результату дії від природи предметів, які утворюють сукупності, про те, що, наприклад, два і три предмети утворюють п’ять предметів незалежно від їх природи. Тоді почали розроблятися правила дій, вивчатися їх властивості, створюватись методи для розв’язування задач; почала розвиватися наука про числа — арифметика.
У першу чергу арифметика розвивалася як система знань, що мала безпосередньо прикладну спрямованість. Пізніше почалось вивчення структури самого натурального числа, виділилися класи парних і непарних, простих і складених чисел тощо. Властивості натуральних чисел вивчаються і досі. Відповідний розділ математики називається теорією чисел.
Джерело: О. І. Бородін. Історія розвитку поняття про число і системи числення.