Цікавинки для допитливих, навчальні матеріали

Якісно нові факти, нагромаджені в математиці наприкінці XVIII — початку XIX ст., виняткова роль, яку почали відігравати комплексні числа в науці і техніці, сприяли тому, що метафізичний підхід до математики став несумісним з розвитком учення про число, алгебри, аналізу нескінченно малих і геометрії.

Вперше геометричне тлумачення комплексних чисел як векторів на площині дав уродженець Норвегії, датський математик і землемір Каспар Вессель (1745—1818) у своїй книзі «Про аналітичне подання напрямів» (1799).

Вессель ставив завдання:

1. Знайти єдиний аналітичний вираз, який може подавати як довжину, так і напрям кожного напрямленого відрізка, розміщеного в площині, залежно від двох заданих напрямлених відрізків.
2. Так означити операції над цими аналітичними виразами, щоб вони були здатні виражати зміни, яких можуть зазнавати довжини і напрями відрізків.

У зв'язку з цим він обґрунтовує арифметику комплексних чисел, розширюючи, по суті, поняття числа. Він прийшов до висновку, що означення дій над комплексними числами повинні не тільки не суперечити однойменним означенням дій над дійсними числами, а й узагальнювати їх. Вессель відстоював матеріалістичне розуміння предмета арифметики і цілком відмовився від мета фізичного трактування арифметики як науки лише про абсолютні величини, вимагаючи включити в учення про число і векторні величини. Проте оскільки дійсні числа за своєю природою можна віднести до множини комплексних чисел, то Вессель формулює задачу обґрунтування арифметики комплексних чисел як задачу узагальнення арифметики чисел дійсних. Він тлумачить комплексні числа і дії над ними так, як це ми робимо тепер, дає тригонометричну форму комплексного числа, розкриває реальний зміст співвідношення i² = −1, яке багатьом ученим до нього здавалося мало не містичним, і узагальнює формулу Муавра на випадок дробового показника степеня.

Обґрунтувавши арифметику комплексних чисел, Вессель переходить до розгляду її застосувань, доводить ряд тригонометричних формул, наприклад,

і т. д.

Згадана праця Весселя є вершиною досягнень математичної думки XVIII ст. у галузі обґрунтування і розвитку поняття числа. Але цей твір написаний датською мовою і тому протягом століття залишався невідомим: над тим, що давно зробив Вессель, ще довго билися математики різних країн.

Англійський математик Бюе (1748—1826) у своєму «Мемуарі про уявні кількості» (1806) робить спробу геометрично подати комплексні числа, тобто пояснити як «символ перпендикулярності».

У 1806 р. геометричне тлумачення комплексних чисел дав також французький математик Арган (1768—1822), але й воно деякий час залишалося не поміченим. Проте після того, як у 1813—1815 рр. працю Аргана «Досвід зображення уявних чисел за допомогою геометричних побудов» (або «Досвід про спосіб зображення уявних кількостей в геометричних побудовах») та аналогічне дослідження французького математика Франсе (кінець XVIII — поч. XIX ст.) було опубліковано (1814 та 1816 рр.), почалася жвава суперечка навколо піднятих в цих працях питань, яка привернула увагу багатьох математиків і сприяла дальшому вдосконаленню геометричного тлумачення дій над комплексними числами. Проте лише в 30-х роках XIX ст. після опублікування мемуару Гаусса «Теорія біквадратичних лишків» (1831) комплексні числа систематично почали розглядати як точки або вектори на площині. Зауважимо, що у цій праці Гаусса вводяться терміни «комплексне число» і «норма комплексного числа a + bi» (тобто вираз a² + b²).

З цього часу зникає недовір'я до комплексних чисел, і вони починають відігравати найважливішу роль у математиці. Виникає нова галузь математичного аналізу — теорія функцій комплексного змінного, яка широко застосовується в таких практичних дисциплінах, як аеро- і гідромеханіка, теорія пружності, електротехніка і т. ін.

Наприклад, видатний російський вчений М. Є. Жуковський (1847—1921) за допомогою теорії функцій комплексної змінної, обґрунтував закони обтікання повітрям рухомого літака. Усі сучасні розрахунки гребель, літаків, ракет тощо роблять за формулами теорії функцій, аргумент яких набуває комплексних значень.

Тепер комплексні числа не менш важливі, ніж дійсні. Немає буквально жодного розділу математики, де можна було б обійтися без комплексних чисел. Багато фактів математичного аналізу, які зовсім не можна пояснити, користуючись тільки дійсними числами, легко пояснюються за допомогою комплексних чисел. Вивчати важливі для застосувань функції (Бесселя, еліптичні) дуже важко, залишаючись в межах множини дійсних чисел.

Геометрична інтерпретація комплексних (зокрема будь-яких дійсних) чисел і дій над ними показала, що арифметика комплексних чисел так само правильна, як і арифметика додатних («абсолютних») дійсних чисел. Отже, необхідність комплексних чисел, яку не могли пояснити, але на яку посилалися для виправдання їх існування, була наслідком реальності цих чисел.

Формальне обґрунтування поняття комплексного числа і дій над цими числами, як і обґрунтування дробових та від'ємних чисел, уже не становило принципових труднощів.

На комплексні числа поширюються всі раніше відомі операції над дійсними числами. Якщо в деякій числовій множині виконуються всі чотири арифметичні операції (тобто дії додавання, віднімання, множення і ділення, коли дільник відмінний від нуля), то її називають числовим полем.

Очевидно, що поле усіх комплексних чисел має властивості поля раціональних і дійсних чисел; крім цього, воно має властивість алгебраїчної замкненості ¹⁾, не властивої попереднім полям.

Як довів Вейєрштрас (іноді Вейєрштрасс), поле комплексних чисел не можна вже далі розширити, приєднуючи нові числа. Це слід розуміти так: не можна побудувати нову сукупність чисел, яка містить як частину всі комплексні числа, щоб з дій над цими числами, як окремий випадок, випливали дії над комплексними числами (зокрема над дійсними числами) і щоб у ній справджувалися основні арифметичні закони (комутативний і асоціативний для додавання і множення, дистрибутивний закон, що пов'язує ці дві дії, і так званий закон відсутності дільників нуля — якщо добуток двох або кількох чисел дорівнює нулю, то принаймні один із співмножників дорівнює нулю).

¹⁾ Числове поле називається алгебраїчно замкненим, якщо будь-яке рівняння з коефіцієнтами цього поля має в ньому стільки коренів, який його степінь.

Джерело: О. І. Бородін. Історія розвитку поняття про число і системи числення.

Ключові слова: Вейєрштрас, Вейєрштрасс, Каспар Вессель.