Число пі

Пі-число. Ілюстрація (джерело: mozg.by)

Пі-число (число пі) — число, яке дорівнює відношенню довжини кола до його діаметру. Пі-число представляється нескінченним десятковим дробом 3,14159265... Позначенням цього числа грецькою буквою \(\large\pi\) вперше користувався англійський математик У. Джонсон (1706), і воно стало загальноприйнятим після однієї з робіт петербурзького математика Л. Ейлера (1736). Назва та позначення \(\large\pi\) походить від початкової букви грецького слова \(\large\pi \varepsilon \varrho \iota \varphi \acute{\varepsilon} \varrho \varepsilon \iota \alpha\) — периферія, коло.

Наприкінці XVIII ст. німецьким математиком І. Ламбертом і французьким математиком А. Лежандром було доведено, що число пі є ірраціональним, а в 1882 р. німецький математик Ф. Ліндеман довів, що воно не може задовольняти ніякому алгебраїчному рівнянню з цілими коефіцієнтами, тобто є трансцендентним.

З теореми Ліндемана випливає неможливість побудови за допомогою циркуля і лінійки відрізка прямої довжиною, що дорівнює \(\large\pi\); ця теорема остаточно встановлює неможливість розв'язання задачі про квадратуру кола.

Вже з глибокої давнини робилися спроби знайти наближене вираження числа \(\large\pi\) за допомогою раціональних чисел. У древньому Єгипті при обчисленні площі круга для числа пі використовували значення

Давньогрецький вчений Архімед (III ст. до н. е.), розглядаючи окружність як границю послідовностей правильних описаних і вписаних багатокутників, коли кількість їх вершин нескінченно зростає, знайшов, що число пі знаходиться між

і

Наближення

знайдено було спочатку китайським математиком Цзу Чуї-чжі в другій половині V ст., а потім, значно пізніше, в Європі (у XVI ст.); це наближення містить помилку лише в сьомому знакові.

Надалі робилися численні спроби знайти більш точний вираз для числа пі. Наприклад, самаркандський вчений Джемшид ібн-Мауд-аль-Каші (перша половина XV ст.) обчислив 17 десяткових знаків \(\large\pi\), голландський математик Лудольф ван Цейлен (початок XVII ст.) — 32 десяткових знаки.

В наш час завдяки застосуванню комп'ютерів \(\large\pi\) знайдено з величезною точністю.

До \(\large\pi\) приводить також знаходження границі деяких арифметичних послідовностей і рядів. Вперше це виявив французький математик Ф. Вієт. В 1674 р. Лейбніц отримав повільно збіжний ряд, що представляє число:

Зручніший для обчислень ряд, одержуваний розкладанням arctg x при

Найкращу формулу для обчислення \(\large\pi\) отримав Дж. Мечин, користуючись також розкладанням arctg x в ряди. Він обчислив пі-число з точністю до 100 десяткових знаків.

Число \(\large\pi\) зустрічається і в деяких формулах неевклідової геометрії, де воно, звичайно, не є відношенням довжини кола до його діаметра, а визначається чисто аналітично. Число \(\large\pi\) є також у відомій формулі Ейлера

\[\large e^{2 \pi i}=1,\]

з якої ще глибше з'ясовується природа числа \(\large\pi\).

Джерело: Толковый словарь математических терминов. О.В. Мантуров. Москва 1965.

Ключові слова: , , .