Початки диференціального та інтегрального числення

Математичний аналіз як розділ математики виник в результаті об'єднання двох різних і спочатку не пов'язаних напрямків математичних досліджень — диференціального та інтегрального числення.

Початки диференціального та інтегрального числення Спочатку інтуїтивне уявлення про математичний об'єкт, який ми зараз називаємо визначеним інтегралом, зустрічалося в роботах мислителів Стародавньої Греції.

Так, Архімед для обчислення об'ємів і площ поверхонь тіл користувався розбивкою фігур на елементи з наступним підсумовуванням цих елементів, передбачаючи тим самим поняття інтегральних сум.

Аналогічними завданнями, розвиваючи метод Архімеда, займалися Кеплер, Паскаль, Ферма та інші вчені.

Ферма також займався завданнями, які ми зараз відносимо до диференціального числення, — проведенням дотичних до кривих, знаходженням найбільшого і найменшого значень функцій і т. д., причому для вирішення цих завдань він, по суті, користувався поняттям приросту функції.

Читати далі »

Виникнення геометрії

Виникнення геометрії сягає глибокої давнини і було обумовлено практичними потребами людської діяльності (необхідністю вимірювання земельних ділянок, вимірювання об'ємів різних тіл і т. д.).

Виникнення геометрії Найпростіші геометричні відомості і поняття були відомі ще в Давньому Єгипті. У цей період геометричні твердження формулювалися у вигляді правил, які даються без доказів.

З VII століття до н. е. по I століття н. е. геометрія як наука бурхливо розвивалася в Стародавній Греції. У цей період відбувалося не тільки накопичення різних геометричних відомостей, а й відпрацьовувалася методика доказів геометричних тверджень, а також робилися перші спроби сформулювати основні первинні положення (аксіоми) геометрії, з яких чисто логічними міркуваннями виводиться безліч різних геометричних тверджень. Рівень розвитку геометрії в Стародавній Греції відображений у творі Евкліда «Начала».

Читати далі »

Алгебра. Історична довідка

Мухаммед аль-ХорезміТермін «алгебра» походить від назви твору Мухаммеда аль-Хорезмі «Альджебр аль-мукабала» (IX століття), що містить загальні методи вирішення задач, які зводяться до рівнянь 1-й і 2-го степеня.

До середини XVII століття в основному склалася сучасна алгебраїчна символіка. Аж до XVIII століття під алгеброю розумілася наука про буквені обчислення — тотожні перетворення буквених формул), рішення рівнянь 1-й — 4-го степеня, логарифми, прогресії, комбінаторика. В даний час всі ці розділи алгебри прийнято називати елементарною алгеброю.

Читати далі »

Дійсні числа. Історична довідка

Дійсні числа. Історична довідка

Число — це найважливіше математичне поняття. Натуральні числа, які використовують для лічби в практичній діяльності, з'явилися на самих ранніх етапах розвитку людської цивілізації.

Спочатку поняття абстрактного числа було відсутня — число було «прив'язане» до тих предметів, які перераховували, і в мові первісних народів існували різні словесні обороти для позначення одного і того ж числа різних предметів. Абстрактне поняття натурального числа (тобто числа, не пов'язаного з перерахунком конкретних предметів) з'являється і закріплюється разом з розвитком писемності і введенням для позначення чисел певних символів.

Поява дробових (додатних раціональних) чисел було пов'язано з необхідністю провести вимірювання, тобто процедуру, в якій будь-яка величина порівнюється з іншою величиною того ж роду, що вибирається в якості еталона (одиниці виміру). Але так як одиниця виміру не завжди вкладалася цілу кількість разів у вимірювану величину, і знехтувати цією обставиною в ряді випадків було не можна, то виникла практична потреба запровадити більш «дрібні» числа, ніж натуральні. Це і було джерелом виникнення найбільш «простих» дробів, таких, як половина, третина, чверть і т. д. Подальший розвиток поняття числа був обумовлений вже не тільки безпосередньою практичною діяльністю людини, а й став наслідком розвитку математики.

Читати далі »

Перший закон Ньютона

З життєвого досвіду відомо, що причиною зміни швидкості тіла, тобто причиною прискорення, є дія іншого тіла. Наприклад, шайба починає рухатись по льоду під дією ключки; ця ж шайба зупиняється через деякий час від дії на неї сили тертя об лід.

Читати далі »

Правило додавання швидкостей та переміщень

Пасажир, який сидить у поїзді, котрий рухається зі швидкістю 20 м/с, вважає себе нерухомим, а спостерігач на станції скаже, що поїзд, а з ним пасажир, промчали із швидкістю поїзда 20 м/с. Якщо пасажир буде рухатись у поїзді вздовж коридорі за рухом поїзда із швидкістю 1 м/с, то його швидкість відносно пасажира на станції вже буде 20 + 1 = 21 м/с, тому, що він здійснив переміщення

\[\bar{S} = \bar{S_1} + \bar{S_2}.\]

Якщо він йтиме у протилежному напрямі до руху поїзда, то швидкість буде 20 - 1 = 19 м/с, бо

\[S_0 = \bar{S_1} - \bar{S_2}.\]

Читати далі »

Відносність руху

Спостерігаючи за навколишніми тілами, ми бачимо, що одні з них знаходяться в стані спокою, інші — в русі. Цілком зрозуміло, що спокій їх, який ми спостерігаємо, є відносний. Будинок є у спокої відносно землі, але Земля рухається відносно Сонця з великою швидкістю, а Сонце разом з усіма планетами також рухається вже відносно зір. Рухаються в просторі і цілі зоряні системи. І не можна знайти у Всесвіті жодного об'єкта, який би міг стати абсолютним орієнтиром для всіх останніх.

Читати далі »

Матеріальна точка

Основна задача механіки — визначити положення тіла у просторі, у будь-який момент часу:

\[X = X_0 + \bar{S}\]

Та різні тіла мають різні розміри, проходять різні віддалі. Якщо розміри тіла великі у порівнянні із тим шляхом, який воно проходить, наприклад, поїзд Львів-Київ проїжджає мостом через річку. І той самий поїзд, що пройшов віддаль з Києва до Львова. У першому випадку розмір поїзда і моста співрозмірні. У другому випадку розмірами поїзда можна знехтувати.

Читати далі »

Механічний рух

Фізика — це наука про природу, про навколишній світ і про те, що в ньому відбувається. Але так як цей світ дуже різноманітний, то відразу говорити про все, тим більше вивчити, буде важко. Ми зупинимось на найпростіших і в той же час найбільш загальних процесах, точніше, на механічному русі.

Читати далі »

«Стіл різних предметів» (гра)

На накритому білим папером столі покладено різні предмети. Тут лежать книга, в якій сторінку закладено кольоровою стрічкою, і картка з написом: «Цю книгу одержить той, хто точно визначить на око число всіх її сторінок і номер сторінки, на якій лежить закладка».

Від'ємні числа

Крім книги, на столі лежать два-три пакуночки різної величини і ваги. В пакунок з метою збільшення ваги треба покласти, крім призу, ще дещо. Призом можуть бути три-чотири цукерки. Біля пакунків — картка з написом: «Хто найточніше визначить на око вагу і розміри цих пакунків, той одержить призи, які містяться усередині пакунків».

Читати далі »