Математичні головоломки сторінка 3

  • Скільки у мами дочок і синів

    У сім'ї 12 дітей. Мама принесла для них 70 штук фейхоа. Половину всіх фейхоа вона роздала дочкам порівну, інші фейхоа віддала синам, які розділили їх між собою також порівну. Кожен хлопчик отримав на 2 фейхоа більше, ніж кожна дівчинка. Скільки було у цієї мами дочок і синів?

    Відповідь

    В родині було 7 дочок і 5 синів.

  • Дріб

    Чи може дріб, в якого чисельник менший за знаменник, бути рівним дробу, в якого чисельник більший за знаменник?

    Відповідь

    Може, наприклад: \(\frac{-3}{6} = \frac{5}{-10}\).

  • Допоможіть вирішити задачу бригадиру мийників вікон

    Якщо 2-є робітників миють 60 вікон за 7 годин 20 хвилин, то скільки часу потрібно 2-ом робітникам на те, щоб вимити 30 дзеркал. Усі вікна та дзеркала — прямокутної форми і однакового розміру.

    Допоможіть вирішити задачу бригадиру мийників вікон

    Відповідь

    60 вікон — 7 год 20 хв = (7 × 60 + 20) хв = 440 хв
    30 вікон — 220 хв
    Може видатись, що і 30 дзеркал помиють за 220 хв, але це не так. Адже вікно треба мити з двох боків, а дзеркало тільки з одного. Тому
    30 дзеркал — 220 хв / 2 = 110 хв = 1 год 50 хв.

  • Корабель, на якому є дві щогли

    Уявіть собі корабель, на якому є дві щогли, кожна заввишки по 12 метрів. Між ними у верхніх точках натягнутий канат довжиною 16 метрів. Цей канат провисає в 4 метрах від землі. На якій відстані один від одного щогли?

    Корабель, на якому є дві щогли

    Відповідь

    Відстань дорівнює нулю. Чому так? Якщо довжину канату поділити навпіл, то отримаємо 8 метрів (максимальне провисання при відстані між щоглами рівне нулю). Якщо віднімемо від 12 максимальне провисання (8 метрів), то отримаємо 4 метри.

  • Продаж яблук

    Селянка принесла на ринок кошик яблук. Першому покупцеві вона продала половину всіх своїх яблук і ще пів-яблука, другому — половину залишку і ще пів-яблука, третьому — половину залишку та ще пів-яблука і т.д.

    Коли ж прийшов шостий покупець і купив у неї половину яблук, що залишились, і пів-яблука, то виявилося, що у нього, як і у інших покупців, всі яблука цілі і що селянка продала всі свої яблука. Скільки яблук вона принесла на ринок?

    Відповідь

    Задача вирішується, якщо збагнути, що останньму (шостому) покупцеві дісталося одне ціле яблуко. Значить, п'ятому дісталося \(2\) яблука, четвертому \(4\), третьому \(8\) і т.д. Всього ж яблук було \(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63\), тобто селянка принесла на ринок \(63\) яблука.

  • Збір яблук

    На відстані метра одне від іншого лежать в ряд 100 яблук, і на відстані метра від першого яблука садівник приніс і поставив кошик.

    Якої довжини шлях пройде садівник, якщо візьметься зібрати ці яблука так, щоб брати їх послідовно одне за іншим і кожне окремо відносити в корзину, яка весь час стоїть на одному і тому ж місці?

    Відповідь

    Потрібно підійти до кожного яблуку і повернутися назад до кошика. А отже, число пройдених метрів дорівнюватиме подвоєний сумі перших ста чисел, або сто раз взятому 101, тобто 10100. А це майже десять кілометрів.

  • Собака і два мандрівника

    Два мандрівника йдуть по одній і тій же дорозі в одному і тому ж напрямку. Перший знаходиться на 8 км попереду іншого і йде зі швидкістю 4 км/год, другий проходить по 6 км/год. У одного з мандрівників є собака, яка саме в той момент, коли ми почали спостерігати за ними, побігла від свого господаря до іншого мандрівника (її швидкість 15 км/год).

    Потім вона повернулася до господаря і знову побігла до іншого мандрівника. Так вона бігала від одного до іншого до тих пір, поки мандрівники не зустрілися. Потрібно дізнатіся, який шлях пробігла собака.

    Відповідь

    Відповідь не залежить від того, кому з мандрівників, першому або другому, належить собака. Другий мандрівник наздожене першого через 4 год, і за цей час собака пробіжить 4 × 15 = 60 км.

  • Велосипедисти і муха

    Два міста, А і В, знаходяться на відстані 300 км одне від одного. З цих міст одночасно виїжджають один одному назустріч два велосипедиста і мчать, не зупиняючись, зі швидкістю 50 км/год.

    Але разом з першим велосипедистом з міста А вилітає муха, що пролітає 100 км/год. Муха випереджає першого велосипедиста, летить назустріч другому, що виїхав з В. Зустрівши його, вона відразу повертає назад до велосипедиста А. Зустрівши його, знову летить назад назустріч велосипедисту В, і так вона продовжує свої польоти взад і вперед до тих пір, поки велосипедисти не з'їдуться. Тоді вона заспокоїлася і сіла одному з велосипедистів на шапку. Скільки кілометрів пролетіла муха?

    Відповідь

    Муха, не зупиняючись, літала рівно 3 години, а отже, пролетіла 300 кілометрів.

  • Гусениця

    О шостій годині ранку в неділю гусениця почала виповзали на дерево. Протягом дня, тобто до 18 години, вона залазила на висоту 5 метрів, а протягом ночі спускалася на 2 метри. У який день і годину вона забереться на висоту 9 метрів?

    Відповідь

    Часто при вирішенні подібних завдань міркують так: гусениця за добу, тобто за 24 год, залізе на 5 м без 2 м. А отде, всього за добу вона вибереться на 3 м. Отже, висоти 9 м вона досягне після закінчення трьох діб, тобто вона буде на цій висоті в середу о 6 годині ранку. Але така відповідь, очевидно, є невірною: в кінці другої доби, а саме у вівторок о 6 год ранку, гусениця буде на висоті 6 м; але в цей же день, починаючи з шостої години ранку, вона до 18 години може залізти ще на 5 м. Отже, на висоті 9 м, як легко розрахувати, вона опиниться у вівторок о 13 год 12 хв.

  • Винагорода для воїна

    Воїну, що служив, дають винагороду: за першу рану 1 копійка, за другу — 2 копійки, за третю — 4 копійки і т.д. Виявилось, що всього воїн отримав винагороди 655 грн. 35 коп. Яка кількість його ран?

    Винагорода для воїна

    Відповідь

    Складаємо рівняння \[65535 = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{x-1}\] \[65535 = \frac{2^{x-1} \cdot 2 - 1}{2-1} = 2^{x}-1\] \[65536 = 2^x\] \[x = 16\] — результат, який знаходимо шляхом випробувань. При цій системі винагороди воїн повинен отримати 16 поранень і залишитися при цьому живим, щоб отримати 655 грн. 35 коп.