ГоловнаТригонометріяТригонометричні рівняння

Тригонометричні рівняння

Рівняння називається тригонометричним, якщо невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій.

Найпростіші тригонометричні рівняння

Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння \(\sin x = a\), \(\cos x = a\), \(\operatorname{tg} x = a\), \(\operatorname{ctg} x = a\).

Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння — означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення тригонометричної функції. Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.

1. Розв’язання рівняння \(\sin x = a\)

Всі розв’язки рівняння

\[\sin x = a, |a| \leq 1\]

записуються у вигляді

\[x = {(-1)}^{k} \arcsin a + \pi k, k \in Z.\]

Окремі випадки:

\[\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k, ~k \in Z.\]
\[\sin x = \pm 1 \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi k, ~k \in Z.\]

2. Розв’язання рівняння \(\cos x = a\)

Всі розв’язки рівняння

\[\cos x = a, |a| \leq 1\]

записуються у вигляді

\[x = \pm \arccos a + 2 \pi k, ~k \in Z.\]

Окремі випадки:

\[\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, ~k \in Z.\]
\[\cos x = 1 \Rightarrow x = 2 \pi k, ~k \in Z.\]
\[\cos x = - 1 \Rightarrow x = \pi + 2 \pi k, ~k \in Z.\]

3. Розв’язання рівняння \(\operatorname{tg} x = a\)

Всі розв’язки рівняння

\[\operatorname{tg} x = a\]

записуються у вигляді

\[x = \operatorname{arctg} a + \pi k, ~k \in Z.\]

Окремий випадок:

\[\operatorname{tg} x = 0 \Rightarrow x = \pi k, ~k \in Z.\]

4. Розв’язання рівняння \(\operatorname{ctg} x = a\)

Всі розв’язки рівняння

\[\operatorname{ctg} x = a\]

записуються у вигляді

\[x = \operatorname{arcctg} a + \pi k, ~k \in Z.\]

Окремий випадок:

\[\operatorname{ctg} x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, ~k \in Z.\]

Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь

\(\big(\) \(x\big) = \)
\(k = \)  

Популярні статті