Вознаграждение воина

Вознаграждение воина

Из другого старинного русского учебника математики, носящего пространное заглавие:

«Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике» (1795), заимствую следующую задачу:

«Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую — 2 копейки, за третью — 4 копейки и т. д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 коп. Спрашивается число его ран».

Сложность головоломки: 6.

Ответ

Составляем уравнение \[65535 = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{x-1}\] \[65535 = \frac{2^{x-1} \cdot 2 - 1}{2-1} = 2^{x}-1\] \[65536 = 2^x\] \[x = 16\] — результат, который легко находим путем испытаний. При столь великодушной системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоиться награды в 655 руб. 35 коп.