ГоловнаГеометріяТрикутник

Трикутник

Трикутник — 1) багатокутник із трьома сторонами; 2) це фігура, що складається з трьох точок, які не лежать на одній прямій, та трьох відрізків, які сполучають попарно ці точки. Відрізки називають сторонами трикутника, а точки — вершинами трикутника.

Довільний трикутник

Трикутники рівні, якщо вони при накладанні співпадають. Трикутники рівні, якщо існує рух площини, що переводить один трикутник в інший.

Довільний трикутник
Рис. 1. Довільний трикутник

Два трикутники подібні, якщо кути одного трикутника відповідно дорівнюють кутам іншого трикутника та сторони одного пропорційні відповідним сторонам іншого.

Бісектриса трикутника — відрізок бісектриси кута, що з'єднує вершину трикутника з точкою протилежної сторони.

Медіана трикутника — відрізок, який з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони.

Висота трикутника — перпендикуляр, проведений із вершини трикутника до прямої, що містить протилежну сторону.

Якщо один з кутів прямий, то трикутник — прямокутний, якщо тупий — тупокутний, якщо всі кути гострі — гострокутний. Якщо в трикутнику дві сторони рівні, то трикутник — рівнобедрений, якщо три — рівносторонній.

Сума кутів трикутника дорівнює 180°. Проти більшої сторони трикутника лежить більший кут. Кожна сторона трикутника менша від суми двох інших сторін.

Ознаки рівності трикутників

Перша ознака

Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам та куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Друга ознака

Якщо сторона і два прилеглих до неї кути одного трикутника відповідно дорівнюють стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Третя ознака

Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Ознаки подібності трикутників

  1. Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого, то такі трикутники подібні.
  2. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого трикутника та кути, утворені цими сторонами, рівні, то такі трикутники подібні.
  3. Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники подібні.

Кут, вписаний у коло, дорівнює половині відповідного центрального кута.

Коло, яке вписане в трикутник
Рис. 2. Коло, яке вписане в трикутник

Кути, що спираються на діаметр, прямі.

Центром кола, вписаного в трикутник, є точка перетину його бісектрис.

Коло, яке описане навколо трикутник
Рис. 3. Коло, яке описане навколо трикутник

Центр кола, описаного навколо трикутника, лежить на перетині серединних перпендикулярів до його сторін.

  1. Площа трикутника дорівнює півдобутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони:

    \[S = \frac12 ah_a\]

    Обчислення площі трикутника (півдобуток сторони на висоту)

    \[S = \frac12 ah_a\]
    \(a\) \(=\)
    \(h_a\) \(=\)
    \(S\) \(=\)

  2. Площа трикутника дорівнює півдобутку сторін на синус кута між ними:

    \[S = \frac12 b c \sin{\alpha}\]

    Обчислення площі трикутника (півдобуток сторін на синус кута)

    \[S = \frac12 b c \sin{\alpha}\]
    \(b\) \(=\)
    \(c\) \(=\)
    \(\alpha\) \(=\)
    \(S\) \(=\)

  3. Площа трикутника (формула Герона)

    \[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]
    \[p = \frac{a+b+c}{2}\]

    Формула Герона

    \[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]
    \[де~~ p = \frac{a+b+c}{2}\]
    \(a\) \(=\)
    \(b\) \(=\)
    \(c\) \(=\)
    \(S\) \(=\)

  4. Радіус кола, вписаного в трикутник:

    \[r = \frac{S}{p}\]

    Обчислення радіуса кола, вписаного в трикутник

    \[r = \frac{S}{p},~де~p = \frac{a+b+c}{2}\]
    \(a\) \(=\)
    \(b\) \(=\)
    \(c\) \(=\)
    \(r\) \(=\)
    \(S\) \(=\)

  5. Радіус кола, описаного навколо трикутника:

    \[R = \frac{abc}{4S}\]

    Обчислення радіуса кола, описаного навколо трикутника

    \[R = \frac{abc}{4S}\]
    \(a\) \(=\)
    \(b\) \(=\)
    \(c\) \(=\)
    \(R\) \(=\)
    \(S\) \(=\)

  6. Теорема косинусів

    Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.
    \[a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cos{\alpha}\]

    Теорема косинусів

    \[a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cos{\alpha}\]
    \(a\) \(=\)
    \(b\) \(=\)
    \(c\) \(=\)
    \(\alpha\) \(=\)

  7. Теорема синусів

    Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

    \[\frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{sin{\beta}} = \frac{c}{sin{\gamma}}\]

Популярні статті