Прогрессии

Прогрессия — последовательность величин, каждая следующая из которых находится в некой, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей.

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа \(d\) (\(d\) — разность прогрессии или шаг):

\[a_n = a_{n-1} + d\]

Любой ((\(n\)-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

\[a_n = a_1 + d \cdot (n-1)\]

\(n\)-й член арифметической прогрессии

\[a_n = a_1 + d(n-1)\]
\(n\) \(=\)
\(d\) \(=\)
\(a_1\) \(=\)
\(a_n\) \(=\)

Сумма \(n\) первых членов арифметической прогрессии

\[S_n = \frac{1}{2} \Big(2 a_1 + d(n-1)\Big) n\]
\(n\) \(=\)
\(d\) \(=\)
\(a_1\) \(=\)
\(S_n\) \(=\)

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел \(b_1,\ b_2,\ b_3,\ldots\) (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число \(q\) (знаменатель прогрессии), где

\[b_1 \ne 0, q \ne 0:\] \[b_1,~ b_2 = b_1 \cdot q,~ b_3 = b_2 \cdot q,~ \ldots,~ b_n = b_{n-1} \cdot q.\]

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:

\[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]

Если \(b_1>0\) и \(q>1\), прогрессия является возрастающей последовательностью, если \(0 < q < 1\), — убывающей последовательностью, а при \(q<0\) — знакочередующейся.

\(n\)-й член геометрической прогрессии

\[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]
\(q\) \(=\)
\(n\) \(=\)
\(b_1\) \(=\)
\(b_n\) \(=\)

Сумма \(n\) первых членов геометрической прогрессии

\[S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}, ~q \ne 1\]
\(q\) \(=\)
\(n\) \(=\)
\(b_1\) \(=\)
\(S_n\) \(=\)

Сумма бесконечной геометрической прогрессии

\[S = \frac{b_1}{1-q}, ~де~ |q| < 1\]
\(q\) \(=\)
\(b_1\) \(=\)
\(S\) \(=\)