Степени и корни

Кроме арифметических действий для действительных чисел устанавливаются также действия возведения в степень и извлечения корня.

Обозначение \(a^n\) называется степенью с основанием \(a\) и показателем \(n\).

1. Степень с натуральным показателем

\[a^m \cdot a^n = a^{m+n}\]
\[\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\]
\[{ \Big(a \cdot b \Big) }^n = a^n \cdot b^n\]
\[{(a^m)}^n = a^{m \cdot n}\]
\[\Big(\frac{a}{b}\Big)^n = \frac{a^n}{b^n}\]

Если \(a>b, b>0\), то

\[a^n > b^n.\]

Калькулятор степеней

\[a^n = b\]
\(a\) \(=\)
\(n\) \(=\)
\(b\) \(=\)

2. Степень с целым показателем

\[a^{-n} = \frac{1}{a^{n}},\]

где \(a \ne 0\), \(n\) — целое.

\[a^{0} = 1\]

3. Степень с рациональным показателем

\[a^{ \frac{m}{n} } = \sqrt[n]{a^m},\]

где \(a > 0\), \(m\) — целое, \(n\) — натуральное.

4. Арифметический корень

\[\sqrt{a^2} = |a|\]
\[\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\]
\[\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt{b} }\]
\[\sqrt{b^2 \cdot a} = |b| \sqrt{a}\]

Если

\[\sqrt[n]{a} = b,\]

то

\[b^{n}=a, ~ b\geq 0.\]
\[\sqrt[n]{ \sqrt[k]{a} } = \sqrt[nk]{a}\]
\[\sqrt[n]{a^{k}} = {\Big(\sqrt[n]{a}\Big)}^k\]

Вычисление корня

\[\sqrt[n]{a} = b\]
\(a\) \(=\)
\(n\) \(=\)
\(b\) \(=\)