Дроби

Якщо частка від ділення одного виразу на інший не є цілим виразом, її записують у вигляді дробу.

Дробом називають частку від ділення двох виразів, записану за допомогою дробової риски.

Які б не були вирази \(A\) і \(B\), їх частка \(\large \frac{A}{B}\) — дріб. Вирази \(A\) і \(B\) — члени цього дробу, \(A\) — чисельник, \(B\) — знаменник.

Звичайний дріб — дріб, члени якого — натуральні числа.

Основна властивість дробу

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити на один і той самий вираз, то дістанемо дріб, який тотожно дорівнює даному. Іншими словами: при будь-яких натуральних \(a\), \(b\) і \(m\)

\[\frac{a \cdot m}{b \cdot m} = \frac{a}{b}\]

Скоротити дріб

Виділити цілу частину


Додавання і віднімання дробів

Щоб додати дроби з однаковими знаменниками, треба додати їх чисельники, а знаменник залишити той самий.

Для натуральних чисел \(a, ~ b, ~ c\) справджується рівність

\[\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}.\]

Справджується вона і для довільних раціональних значень \(a, ~ b, ~ c\), крім \(c \ne 0\).

Щоб знайти різницю дробів з однаковими знаменниками, треба від чисельника зменшуваного відняти чисельник від’ємника, а знаменник залишити той самий. Тобто, справедлива така тотожність:

\[\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}.\]

Якщо треба знайти суму або різницю дробів з різними знаменниками, то спочатку їх зводять до спільного знаменника, подібно до того, як це роблять при додаванні і відніманні звичайних дробів.

Алгоритм додавання та віднімання дробів з різними знаменниками

  1. Знайти спільний знаменник дробів.
  2. Звести дроби до спільного знаменника.
  3. Додати або відняти одержані дроби.
  4. Спростити дріб, якщо це можливо.

Додавання і віднімання дробів

Множення дробів

Щоб помножити дріб на дріб, треба перемножити окремо їх чисельники і окремо знаменники і перший добуток записати чисельником, а другий — знаменником дробу. Тобто, для будь-яких натуральних чисел \(a, ~ b, ~ c\) і \(d\) справджується рівність

\[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.\]

Правило піднесення дробу до степеня

Щоб піднести дріб до степеня, треба піднести до цього степеня чисельник та знаменник і перший результат записати у чисельнику, а другий — у знаменнику дробу:

\[{\big(\frac{a}{b}\big)}^n = \frac{a^n}{b^n}.\]

Ділення дробів

Дріб \(\large\frac{d}{c}\) називають оберненим до \(\large\frac{c}{d}\).

Щоб поділити один дріб на другий, треба перший дріб помножити на дріб, обернений до другого. Тобто,

\[\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}.\]

Множення і ділення дробів

\[\Big(\]
\[\Big)\] \[\Big(\]
\[\Big)\]