Уравнения

Равенство, содержащее переменные (неизвестные), называется уравнением.

Областью определения, или областью допустимых значений данного уравнения называется множество всех значений переменных, при которых выражения, входящие в это уравнение, имеют смысл.

Корнем уравнения с одной переменной называется такое значение этой переменной, при котором уравнение превращается в правильное равенство.

Два (или более) уравнения называются равносильными (эквивалентными), если каждый корень одного уравнения является корнем второго и наоборот.

1. Линейные уравнения

\[ax+b = c, a \neq 0\]

Решение

\[x = \frac{c-b}{a}.\]

Решение линейного уравнения

\[ax+b = c, a \neq 0\]
\(x+\) \(=\)

2. Квадратные уравнения

\[ax^2+bx+c=0.\]

Если \(a\) равно нулю, то это уравнение сводится к предыдущему.

Дискриминант

\[D = b^2-4ac.\]

Если

\[D \geq 0,\]

то решения:

\[x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\]
\[x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\]

Если \(D < 0\), то решений нет.

Решение квадратного уравнения

\[ax^2+bx+c = 0\]
\(x^2+\) \(x+\) \(=0\)

Уравнение вида

\[x^2+px+q = 0\]

называется приведённым квадратным уравнением. Для приведённого квадратного уравнения справедливы равенства:

\(x_1+x_2 = -p\) теорема Виета
\(x_1 \cdot x_2 = q\)

Отсюда следует:

\[a x^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2).\]