Похідна функції

Похідною функції \(f\) у точці \(x_0\) називається границя, до якої прямує відношення

\[\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x},\]

якщо \(\Delta x\) наближається до нуля.

Отже,

\[f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} }.\]

Функція, яка має похідну в точці \(x_0\), називається диференційованою в цій точці.

Поняття похідної та диференційованості функції в точці є тотожними. Тому часто операцію знаходження похідної називають диференціюванням функції.

Формули диференціювання

\[c' = 0, ~де~c~–~константа~(число)\]
\[(x)' = 1\]
\[(x^k)' = k \cdot x^{k-1}\]
\[(\sin x)' = \cos x\]
\[(\cos x)' = - \sin x\]
\[(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2{x}}\]
\[(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2{x}}\]
\[(e^x)' = e^x\]
\[(a^x)' = a^x \cdot \ln{a}\]
\[(\log_{a}{x})' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]
\[(\ln{x})' = \frac{1}{x}\]

Якщо \(u(x)\) і \(v(x)\) деякі функції, то:

  1. \((u \pm v)' = u' \pm v'\)
  2. \((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\)
  3. \((c \cdot u)' = c \cdot u'\)
  4. \(\Big( u(k \cdot x + b) \Big)' = k \cdot u'(k \cdot x +b)\), де \(k,~b\) – константи
  5. \(\large (\frac{u}{v})' = \large \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}\)

Рівняння дотичної до графіка функції \(y = f(x)\)

Рівняння дотичної до графіка функції \(y = f(x)\) має вигляд

\[y - y_0 = f'(x_0)(x-x_0)\]

де \((x_0;y_0)\) — точка дотику.