Розвиток поняття про ірраціональні числа в Західній Європі

У Західній Європі згадка про ірраціональні числа зустрічається в «Liber abaci» (1202) Леонардо Пізанського. Проте ці числа ввійшли в європейську математику лише в XV—XVI ст., коли в Європі почали розвиватися алгебра і тригонометрія. У цей час відношення Евкліда часто називають числами. Ними оперують за правилами алгебраїчного числення, але звичайно без обґрунтування правил дій.

Натуральне число може дати кількісну характеристику будь-якої скінченної множини. Поняття дробу характеризує будь-яку частину різних величин (довжини, часу, ваги і т. д.). Знайти прообрази ірраціональних чисел поза геометричними (несумірними) величинами математики XV—XVI ст. не вміли. Тому для них ірраціональні числа поза геометрією були символами, позбавленими певного окресленого змісту. Будь-який дріб може бути виражений цілком точно відношенням двох цілих чисел. Навпаки, ірраціональне число не можна точно подати скінченною комбінацією раціональних чисел, пов'язаних чотирма арифметичними діями. Ці факти знали математики XV—XVI ст. і майже завжди використовували як аргумент «неповноцінності» поняття ірраціонального числа.

Кардано (1501—1576)

Оскільки існування геометричних несумірних величин не заперечувалось, то числа нового виду називали «глухими», «недійсними», «фіктивними» і т. д.

Термін «ірраціональний» у математичному розумінні вперше застосовував у XVI ст. англійський математик Томас Брадвардін (бл. 1290—1349). Поняття числа і цим терміном пов'язав уперше (1544) німецький математик М. Штіфель. Але й він під час доведення дій над ірраціональними числами вдається, як і Евклід, до відрізків. У італійського математика Кардано (1501—1576) ми вже бачимо відмінність між числами — цілими, дробовими та ірраціональними. Італійський математик Бомбеллі (друга пол. XVI ст.) і голландський математик Жірар застосовують їх, але не вважають за числа. Отже, ірраціональні числа не вважали повноправними.

Але ці числа все одно треба було розглядати й вивчати. Справді, при обчисленнях ірраціональних коренів алгебраїчних рівнянь, логарифмів чисел, значень тригонометричних функцій тощо доводилося шукати більш чи менш точні раціональні наближення ірраціональних чисел і, по суті, оперувати ними як числами.

Арифметика таких величин, як правило, ґрунтувалася на геометрії (Бомбеллі, Вієт). Звичайно, цей підхід до арифметики ірраціональних чисел навіть для свого часу не був досить послідовним. У XV—XVI ст. лише передові одинаки-математики, такі, як німець Штіфель і нідерландець Стевін, виступили на захист рівноправності поняття ірраціонального числа поряд з цілими і дробовими числами. Наприклад, Стевін писав, що несумірність не є ознакою абсурдності несумірних величин, Так, лінія і поверхня — величини несумірні, однак, ні лінія, ні поверхня не є абсурдними кількостями. Своє міркування про природу чисел Стевін закінчує так: «... Немає чисел абсурдних, ірраціональних, неправильних, невиразних або глухих; ... серед чисел панує така досконалість і згода, що ми маємо підставу міркувати день і ніч про їх дивну закінченість». Незважаючи на це ірраціональні числа почали застосовувати разом з від'ємними тільки після появи геометрії Декарта (1637).

Ідеї Декарта привели до узагальнення поняття про число. Між точками прямої і числами було встановлено взаємно однозначну відповідність. У математику було введено змінну величину.

Використання поняття ірраціонального числа при вимірюванні якісно відмінних величин (сили, швидкості, прискорення, довжини, площі об'єму і т. д.), у механіці й аналізі ще з більшою силою підкреслило необхідність суто арифметичного його обґрунтування. Саме тут особливо чітко виявилась можливість тлумачення поняття числа як відношення.

Коли Валліс і Ньютон ввели поняття границі, то з'ясувалося, що ірраціональні числа можна розглядати ще як границі послідовностей раціональних чисел. Такий підхід також сприяв визнанню арифметичної природи ірраціональних чисел і поклав початок одному із способів обґрунтування їх арифметики, який був частково розроблений у XVIII ст.

З'ясуванню арифметичної суті і визнанню повноправності поняття ірраціонального числа особливо сприяв розвиток арифметики десяткових дробів. Кожний звичайний дріб і будь-яку алгебраїчну ірраціональність можна подати нескінченним десятковим дробом з будь-якою наперед заданою точністю. Отже, вважати їх принципово різними не можна. У «Трактаті з алгебри» Валліс підкреслював, що добування коренів іноді призводить до нескінченних неперіодичних десяткових дробів. Ці дроби слід розглядати як новий вид чисел, оскільки нескінченний періодичний десятковий дріб є звичайним дробовим числом.

Отже, до початку XVIII ст. чітко виділилися три тлумачення поняття ірраціонального числа (величини):

1) ірраціональне число розглядати як корінь n-го степеня з цілого або дробового числа, коли результат добування кореня не можна виразити «точно» цілим або дробовим числом (найдавніше);

2) ірраціональне число трактували як границю, до якої його раціональні наближення можуть підійти як завгодно близько;

3) це число розглядали як відношення двох однорідних величин, другу з яких взято за одиницю; коли перша величина несумірна з одиницею, число називали ірраціональним.

Два останні тлумачення ірраціонального числа довго не поширювались. Математики найчастіше обирали перший підхід і говорили не про ірраціональні числа, а про ірраціональні величини.

Ісаак Ньютон

З цих причин до кінця XVII ст. геометричні способи обґрунтування арифметики ірраціональних чисел відсувались на задній план. Тільки найпередовіші математики кінця XVII і початку XVIII ст., такі, як Ньютон і Лейбніц, вважали поняття ірраціонального числа об'єктивним, трактували його по-новому і широко застосовували в математиці й природознавстві.

У другій половині XVIII ст., у зв'язку з дальшим розпитком механіки і математики, поняття ірраціонального числа набуло ширшого визнання. Ньютонове означення ірраціонального числа повсюдно проникає в математичну літературу. Водночас дуже розвивається і друге тлумачення поняття ірраціонального числа. Так, Ейлер, Ламберт та деякі інші вчені встановили, що нескінченний періодичний дріб завжди є раціональним числом. Тому ірраціональне число — нескінченний неперіодичний дріб. Ірраціональні числа деякі автори почали трактувати як межі змінних, що набувають раціональних значень.

Йоганн Генріх Ламберт

Особливий інтерес викликало питання про природу чисел e і π.

Ще Валліс висловив припущення, що π не можна подати за допомогою радикалів. У 1766 р. Ламберт довів ірраціональність чисел π та e й передбачав трансцендентність числа π. В одному із своїх листів в 1768 р. він писав: «Спосіб, яким я це довів, можна поширити далі на доведення того, що кругові і логарифмічні величини не можуть бути коренями раціональних рівнянь». Трохи пізніше, у 1794 р. французький математик А. Лежандр (1752—1833) писав, що ірраціональність числа π не алгебраїчна, тобто що це число не може бути коренем алгебраїчного рівняння з раціональними коефіцієнтами. Ще раніше такі думки висловив Ейлер.

Однак аж до другої половини XIX ст. не було розроблено загальної теорії ірраціональних чисел.

Остаточно розвинули теорію ірраціональних чисел у другій половині XIX ст. німецькі математики Ю. Дедекінд (1831—1916), Г. Кантор (1845—1918) і К. Вейєрштрасс (1815—1897) у зв'язку з потребами математичного аналізу.

Джерело: О. І. Бородін. Історія розвитку поняття про число і системи числення.

Ключові слова: , , , , .